צירוף לינארי של וקטורים

צירוף לינארי הוא פעולה בסיסית שבעזרתה בונים וקטור חדש מווקטורים נתונים. וקטורים אחדים יכולים לשמש כאבני בניין: אם הם נבחרים נכון, כל וקטור במישור או במרחב ניתן להצגה יחידה בעזרתם. בהמשך נראה כיצד אותו רעיון מאפשר לקבוע אם ישר נמצא במישור או מקביל לו.

מושג הצירוף הלינארי של וקטורים

צירוף לינארי של וקטורים הוא ביטוי שבו מכפילים כל וקטור נתון בסקלר (מספר ממשי) ומחברים את התוצאות. אם נתונים שני וקטורים u ו־v, כל ביטוי מהצורה a u + b v, שבו a ו־b מספרים ממשיים, נקרא צירוף לינארי של u ו־v. באופן דומה, אם נתונים שלושה וקטורים u, v ו־w, כל ביטוי מהצורה a u + b v + c w הוא צירוף לינארי שלהם.

הסקלרים קובעים את מידת ההשתתפות של כל וקטור בצירוף: סקלר חיובי שומר על כיוון הווקטור ומשנה את אורכו, סקלר שלילי הופך את הכיוון, וסקלר אפס מבטל את השתתפות הווקטור. לאחר הכפלת כל וקטור בסקלר שלו מחברים את התוצאות ומקבלים וקטור חדש.

לדוגמה, אם u = (2,1,0) ו־v = (-1,3,0), אז:

3u + 2v = 3(2,1,0) + 2(-1,3,0) = (6,3,0) + (-2,6,0) = (4,9,0)

השאלה "האם וקטור מסוים הוא צירוף לינארי של וקטורים נתונים?" פירושה: האם אפשר לבחור סקלרים כך שהחיבור ייתן בדיוק את הווקטור המבוקש.

הצגה יחידה של וקטור במישור

וקטורים קולינאריים הם וקטורים המונחים על אותו ישר או על ישרים מקבילים. מבחינה אלגברית, אחד מהם הוא כפולה של האחר. שני וקטורים לא קולינאריים אינם כפולים זה של זה, ולכן הם פונים לשני כיוונים בלתי תלויים.

המשפט המרכזי במישור: כל וקטור במישור ניתן להצגה יחידה כצירוף לינארי של שני וקטורים לא קולינאריים באותו מישור. כלומר, אם u ו־v אינם קולינאריים, אז לכל וקטור w במישור יש זוג סקלרים יחיד a,b כך ש־w = a u + b v.

המילה "יחידה" חשובה: לא רק שקיימת הצגה, אלא שאין שתי דרכים שונות להציג את אותו וקטור בעזרת אותם שני וקטורים. אם יש שתי הצגות שונות, הן חייבות להשתמש בסקלרים שונים, ולכן הן מתארות למעשה אותו וקטור רק כאשר הווקטורים אינם מתאימים לפריסה חד־משמעית של המישור.

דוגמה: במישור הצירים, הווקטורים e1 = (1,0) ו־e2 = (0,1) אינם קולינאריים. כל וקטור (x,y) נכתב כך:

(x,y) = x e1 + y e2

למשל, (5,-2) = 5e1 - 2e2. זו הצגה יחידה בעזרת e1 ו־e2.

אם שני הווקטורים קולינאריים, המשפט אינו תקף. הצירופים שלהם יכולים לתת רק וקטורים על אותו ישר כיוון, ולכן וקטור שאינו על הישר הזה לא יוצג כלל. לעומת זאת, שני וקטורים לא קולינאריים פורסים את כל המישור, וכל וקטור במישור ניתן להצגה בעזרתם.

הצגה יחידה של וקטור במרחב

במרחב, שני וקטורים אינם מספיקים כדי לתאר כל כיוון אפשרי. שני וקטורים לא קולינאריים קובעים מישור אחד, אך יש כיוונים שיוצאים מחוץ למישור הזה. לכן נדרשים שלושה וקטורים מתאימים.

המשפט במרחב: כל וקטור במרחב ניתן להצגה יחידה כצירוף לינארי של שלושה וקטורים שאינם באותו מישור. הכוונה לשלושה וקטורים שאפשר להניחם כך שיוצאים מאותה נקודה, אך הם אינם נמצאים כולם במישור אחד — אין מישור שמכיל את שלושת הכיוונים שלהם.

אם u, v ו־w הם שלושה וקטורים כאלה, אז לכל וקטור x במרחב יש שלושה סקלרים יחידים a,b,c כך ש־x = a u + b v + c w. היחידות פירושה שאין שתי שלשות שונות של סקלרים שנותנות את אותו וקטור.

דוגמה מוכרת היא וקטורי היחידה של מערכת הצירים במרחב:

i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1)

שלושת הווקטורים האלה אינם באותו מישור, ולכן כל וקטור (x,y,z) נכתב באופן יחיד כך:

(x,y,z) = x i + y j + z k

אם שלושת הווקטורים נמצאים באותו מישור, כל הצירופים שלהם נשארים באותו מישור. לכן הם אינם יכולים לייצג וקטור שיוצא מחוץ למישור, והם אינם פורסים את המרחב כולו.

צירופים לינאריים הקובעים מישור

מישור במרחב יכול להיקבע על ידי נקודה אחת ושני וקטורים לא קולינאריים. אם נקודה P נמצאת במישור, ושני הווקטורים u ו־v יוצאים ממנה ואינם קולינאריים, אז כל הווקטורים מהצורה a u + b v מציינים כיוונים בתוך המישור.

לכן, כשבודקים שייכות של וקטור כיוון למישור, אין צורך לבדוק אינסוף נקודות. די לבדוק אם הווקטור ניתן להצגה כצירוף לינארי של שני וקטורי כיוון לא קולינאריים של המישור. אם הוא ניתן להצגה כזאת, הוא נמצא בכיווני המישור. אם לא, הוא מצביע החוצה מהמישור.

חשוב להבחין בין נקודות לווקטורים. נקודה במישור אינה וקטור בפני עצמה, אך אם בוחרים נקודת ייחוס P במישור, אז כל נקודה X במישור מתאימה לווקטור PX שנמצא בכיווני המישור. לכן X נמצאת במישור אם PX הוא צירוף לינארי של u ו־v.

קביעה אם ישר נמצא במישור או מקביל למישור בעזרת וקטורים

כדי לבדוק את המצב ההדדי של ישר ומישור, משתמשים בווקטור כיוון של הישר ובשני ווקטורי כיוון לא קולינאריים של המישור. נסמן את וקטור הכיוון של הישר ב־d, ואת שני וקטורי הכיוון של המישור ב־u ו־v.

תחילה בודקים אם d ניתן להצגה כצירוף לינארי של u ו־v, כלומר אם קיימים סקלרים a,b כך ש־d = a u + b v.

• אם d אינו ניתן להצגה כזאת, כיוון הישר אינו מקביל למישור. במצב זה הישר אינו נמצא במישור ואינו מקביל לו, ולכן הוא חותך את המישור בנקודה אחת.
• אם d ניתן להצגה כזאת, כיוון הישר מקביל למישור. אז יש שתי אפשרויות: הישר נמצא במישור, או הישר מקביל למישור ואינו נוגע בו.

כדי להכריע בין שתי האפשרויות, בודקים נקודה אחת של הישר. אם הישר עובר דרך נקודה A, בודקים אם A נמצאת במישור. אם המישור נתון בעזרת נקודה P והווקטורים u ו־v, הנקודה A נמצאת במישור אם PA הוא צירוף לינארי של u ו־v.

• אם A נמצאת במישור ו־d ניתן להצגה כצירוף של u ו־v, הישר כולו נמצא במישור.
• אם A אינה נמצאת במישור ו־d ניתן להצגה כצירוף של u ו־v, הישר מקביל למישור.

דרך נפוצה נוספת היא להשתמש בשתי נקודות של הישר, A ו־B. וקטור הכיוון של הישר הוא AB. אם שתי הנקודות A ו־B נמצאות במישור, הישר העובר דרכן נמצא במישור. אם AB ניתן להצגה כצירוף של u ו־v, אך אחת הנקודות אינה במישור, הישר מקביל למישור.

לדוגמה, מישור הצירים xy נפרש על ידי i = (1,0,0) ו־j = (0,1,0). ישר שוקטור הכיוון שלו הוא d = (3,-2,0) מקיים d = 3i - 2j, ולכן כיוונו מקביל למישור. אם הישר עובר דרך הנקודה (0,0,5), הוא מקביל למישור xy. אם הוא עובר דרך הנקודה (0,0,0), הוא נמצא במישור xy. לעומת זאת, ישר שוקטור הכיוון שלו הוא (0,0,1) אינו ניתן להצגה כצירוף של i ו־j, ולכן הוא חותך את המישור.