סדרה הנדסית – הגדרה ותכונות

סדרה הנדסית היא סדרה שבה כל איבר מתקבל מהכפלת האיבר הקודם במספר קבוע. בשונה מסדרה חשבונית, שבה ההפרש בין איברים עוקבים קבוע, כאן היחס בין איברים עוקבים קבוע. נבחן את ההגדרה, את דרכי הייצוג, את המעבר בין כלל נסיגה לנוסחה לפי מקום, ואת התכונות המרכזיות של הסדרה.

הגדרת סדרה הנדסית ומנת הסדרה

סדרה a_n נקראת סדרה הנדסית אם קיים מספר קבוע q כך שכל איבר מתקבל מהכפלת האיבר הקודם בו. כלומר, לכל n מתקיים a_(n+1) = q · a_n. המספר q נקרא מנת הסדרה.

כאשר כל איברי הסדרה שונים מאפס, אפשר להגדיר את הסדרה גם באמצעות היחס בין איברים עוקבים: a_(n+1) / a_n = q. דרישה זו נובעת מכך שחילוק באפס אינו מוגדר. לכן נהוג לעסוק בסדרות שאין בהן איברים שווים לאפס, וממילא גם המנה q שונה מאפס.

כדי לבדוק שסדרה היא הנדסית, אין להסתפק בבדיקת כמה איברים ראשונים בלבד. יש להראות שהיחס בין כל שני איברים עוקבים קבוע. לעומת זאת, אם נמצא אפילו זוג עוקב אחד שבו היחס שונה, הסדרה אינה הנדסית.

האיבר הראשון a_1 והמנה q קובעים את כל הסדרה. אם ידועים שניהם, אפשר לחשב כל איבר: a_2 = a_1 · q, a_3 = a_1 · q^2, ובאופן כללי a_n = a_1 · q^(n-1).

ייצוגי סדרה הנדסית: מילולי, מספרי, סימבולי וגרפי

סדרה הנדסית יכולה להופיע בכמה ייצוגים, ולעיתים נדרש לעבור ביניהם.

• ייצוג מילולי: תיאור במילים של חוקיות ההכפלה. למשל: "בכל יום מספר הצופים בסרטון גדל פי 3 ממספר הצופים ביום הקודם". תיאור כזה מצביע ישירות על מנה חיובית גדולה מ־1.
• ייצוג מספרי: הצגת האיברים הראשונים או טבלת ערכים. למשל: 2, 6, 18, 54. כאן היחס בין איברים עוקבים הוא 6 / 2 = 3, 18 / 6 = 3, ולכן זו סדרה הנדסית שמנתה 3.
• ייצוג סימבולי: כתיב מתמטי באמצעות נוסחה לפי מקום, כגון a_n = 2 · 3^(n-1), או באמצעות כלל נסיגה, כגון a_1 = 2, a_(n+1) = 3 · a_n.
• ייצוג גרפי: סימון הנקודות (n, a_n) במערכת צירים. מכיוון ש־n הוא מספר טבעי, הגרף אינו פונקציה רציפה אלא אוסף נקודות בדידות. צורת הנקודות מושפעת מהאיבר הראשון ומהמנה.

הגרף מאפשר לראות את אופי הסדרה במבט אחד. כאשר a_1 חיובי ו־q גדולה מ־1, הנקודות עולות ומתרחקות מציר ה־n בקצב שהולך וגדל. כאשר a_1 חיובי ו־q בין 0 ל־1, הנקודות יורדות ומתקרבות לציר ה־n. כאשר q שלילי, הנקודות נמצאות לסירוגין מעל ציר ה־n ומתחתיו.

מעבר בין כלל נסיגה לנוסחה לפי מקום

שני הייצוגים הסימבוליים המרכזיים הם כלל נסיגה ונוסחה לפי מקום. כלל נסיגה מגדיר את האיבר הבא בעזרת האיבר הקודם, ונוסחה לפי מקום נותנת את האיבר ישירות לפי המקום n.

אם נתון כלל נסיגה: a_1 = a, a_(n+1) = q · a_n, אז בין האיבר הראשון לאיבר ה־n יש n-1 מעברים, ובכל מעבר מכפילים ב־q. לכן:

a_n = a_1 · q^(n-1).

לדוגמה, אם a_1 = 5 ו־a_(n+1) = 2 · a_n, אז a_n = 5 · 2^(n-1).

בכיוון ההפוך, אם נתונה נוסחה לפי מקום מהצורה a_n = a_1 · q^(n-1), אז כלל הנסיגה הוא a_(n+1) = q · a_n, והאיבר הראשון הוא הערך המתקבל עבור n = 1. לדוגמה, מהנוסחה a_n = 7 · 3^(n-1) נקבל a_1 = 7 ו־a_(n+1) = 3 · a_n.

לפעמים הנוסחה אינה כתובה בדיוק בצורה הזו. במקרה כזה אפשר לזהות את המנה בעזרת היחס בין איברים עוקבים: q = a_(n+1) / a_n. אם מתקבל ביטוי קבוע שאינו תלוי ב־n, הסדרה הנדסית והביטוי הוא המנה. לדוגמה, עבור a_n = 4 · 5^n, היחס הוא a_(n+1) / a_n = 5, ולכן המנה היא 5, אף על פי שהחזקה היא n ולא n-1.

אם נתונים שני איברים עוקבים בייצוג מספרי, אפשר למצוא את המנה ישירות: האיבר השני חלקי הראשון. אם נתון האיבר הראשון והמנה, כלל הנסיגה הוא a_(n+1) = q · a_n. אם נתונה נוסחה לפי מקום, אפשר לעבור לכלל נסיגה על ידי חישוב היחס a_(n+1) / a_n או על ידי זיהוי הבסיס בחזקה.

ממוצע הנדסי של איברים סמוכים

תכונה מרכזית של סדרה הנדסית היא הקשר בין שלושה איברים עוקבים. אם a_(n-1), a_n, a_(n+1) הם שלושה איברים עוקבים בסדרה הנדסית, אז האיבר האמצעי מקיים:

a_n^2 = a_(n-1) · a_(n+1).

הסבר: אם האיבר הראשון מבין השלושה הוא b, אז האיבר השני הוא b · q והאיבר השלישי הוא b · q^2. מכפלת האיבר הראשון והשלישי היא b · b · q^2 = b^2 · q^2, וזו בדיוק ריבועו של האיבר השני.

הממוצע ההנדסי של שני מספרים חיוביים הוא השורש הריבועי של מכפלתם. לכן, כאשר כל האיברים חיוביים, האיבר האמצעי הוא הממוצע ההנדסי של שני האיברים שמשני צדדיו:

a_n = √(a_(n-1) · a_(n+1)).

אם האיברים אינם חיוביים, יש להיזהר בסימן. המשוואה a_n^2 = a_(n-1) · a_(n+1) נכונה גם אז, אך היא אינה קובעת לבדה את הסימן של האיבר האמצעי. למשל, בין 2 ל־8 יכולים להיות שני איברים אמצעיים אפשריים בסדרה הנדסית: 4 או מינוס 4, בהתאם למנה. לכן בשימוש בתכונה יש לבדוק את נתוני השאלה, ובמיוחד אם נאמר שהאיברים חיוביים.

דרך נוחה לסמן שלושה איברים עוקבים בסדרה הנדסית היא b / q, b, b · q, כאשר b הוא האיבר האמצעי. סימון זה מדגיש את התכונה, אך יש לשים לב לסימן האיברים כאשר המנה שלילית או כאשר לא ידוע שהאיברים חיוביים.

סדרה עולה, סדרה יורדת וסדרה קבועה

כדי לקבוע אם סדרה הנדסית עולה, יורדת או קבועה, יש לבחון את האיבר הראשון ואת המנה.

• סדרה קבועה: אם q = 1, כל איבר שווה לאיבר הראשון, ולכן הסדרה קבועה.
• סדרה עולה: אם a_1 חיובי ו־q גדולה מ־1, כל איבר גדול מהאיבר הקודם. גם אם a_1 שלילי ו־q בין 0 ל־1, הסדרה עולה, משום שהאיברים נשארים שליליים אך מתקרבים לאפס.
• סדרה יורדת: אם a_1 חיובי ו־q בין 0 ל־1, כל איבר קטן מהאיבר הקודם. גם אם a_1 שלילי ו־q גדולה מ־1, הסדרה יורדת, משום שהאיברים נעשים שליליים יותר.

כאשר q שלילית, הסדרה אינה עולה ואינה יורדת, משום שהסימנים מתחלפים.

לדוגמה, הסדרה 3, 6, 12, 24, ... היא סדרה עולה, משום ש־a_1 = 3 ו־q = 2. הסדרה 16, 8, 4, 2, ... היא סדרה יורדת, משום ש־a_1 = 16 ו־q = 1 / 2. הסדרה 5, 5, 5, 5, ... היא סדרה קבועה, משום ש־q = 1.

העלייה או הירידה בסדרה הנדסית אינן קצב שינוי קבוע בהפרש, אלא שינוי בכפל. לכן כאשר q גדולה מ־1 והאיברים חיוביים, הפערים בין איברים עוקבים גדלים ככל שמתקדמים בסדרה.

איברים עם סימנים מתחלפים

כאשר המנה q שלילית, הסימנים של איברי הסדרה מתחלפים. אם האיבר הראשון חיובי, האיבר השני שלילי, השלישי חיובי, הרביעי שלילי, וכן הלאה. אם האיבר הראשון שלילי, הסדר מתחלף בהתאם: שלילי, חיובי, שלילי, חיובי.

הסיבה לכך היא שהכפלה במספר שלילי משנה את סימן המספר. עם זאת, הערך המוחלט של האיברים נקבע לפי הערך המוחלט של q:

• אם q = -1, הערכים המוחלטים קבועים והסימנים מתחלפים, למשל: 4, -4, 4, -4, ....
• אם הערך המוחלט של q גדול מ־1, הערכים המוחלטים גדלים, למשל: 3, -6, 12, -24, ....
• אם הערך המוחלט של q בין 0 ל־1, הערכים המוחלטים קטנים, למשל: 4, -2, 1, -0.5, ....

סדרה שבה הסימנים מתחלפים אינה סדרה עולה ואינה סדרה יורדת, משום שאיבר חיובי גדול מאיבר שלילי שבא אחריו, ואיבר שלילי קטן מאיבר חיובי שבא אחריו. לכן במקרה של מנה שלילית יש להתייחס בנפרד לסימנים ולגודל הערכים המוחלטים.

בגרף, סדרה כזו נראית כנקודות שעוברות מצד אחד של ציר ה־n לצד השני. אם הערך המוחלט של q בין 0 ל־1, הנקודות מתקרבות לאפס משני הצדדים; אם הערך המוחלט של q גדול מ־1, הן מתרחקות מאפס לסירוגין.