פונקציה לוגריתמית – הגדרה ותכונות

הלוגריתם מתאר את המעריך שיש להעלות בו מספר קבוע כדי להגיע לערך נתון, ולכן הוא הפעולה ההפוכה לחזקה. הפונקציה הלוגריתמית מקבלת ערך חיובי ומחזירה את הלוגריתם שלו בבסיס קבוע. בשיעור זה נבחן את ההגדרה, את חוקי הלוגריתמים ואת התכונות המרכזיות של הפונקציה: תחום הגדרה, חיתוך עם ציר x, אסימפטוטה אנכית, עלייה וירידה, וסימני הפונקציה.

הגדרת הלוגריתם כפעולה הפוכה לחזקה

בחזקה מהצורה a^x = b ידועים הבסיס a והתוצאה b, ולעיתים נדרש למצוא את המעריך x. הלוגריתם עונה על שאלה זו.

הגדרה: עבור a > 0, a ≠ 1 ו-b > 0, מתקיים:

log_a b = x אם ורק אם a^x = b.

בכתיב זה a הוא הבסיס של הלוגריתם, b הוא הארגומנט, והתוצאה x היא המעריך שבו יש להעלות את הבסיס כדי לקבל את הארגומנט.

דוגמאות:

• log_2 8 = 3, משום ש-2^3 = 8.
• log_3 27 = 3, משום ש-3^3 = 27.
• log_5 1 = 0, משום ש-5^0 = 1.
• log_a a = 1, משום ש-a^1 = a לכל בסיס חוקי.

כלומר, השאלה "מהו הלוגריתם של b לפי בסיס a?" שקולה לשאלה "באיזו חזקה יש להעלות את a כדי לקבל b?".

תנאים לבסיס ולארגומנט

הלוגריתם מוגדר רק כאשר הבסיס והארגומנט מקיימים את התנאים הבאים:

• הבסיס חייב להיות חיובי: a > 0.
• הבסיס אינו יכול להיות שווה ל-1: a ≠ 1.
• הארגומנט חייב להיות חיובי: b > 0.

הדרישה a > 0 נובעת מכך שחזקות ממשיות מוגדרות באופן מלא רק עבור בסיס חיובי. אם הבסיס שלילי, ביטויים כמו (-2)^(1/2) אינם מספרים ממשיים, ולכן לא ניתן להגדיר לוגריתם בבסיס שלילי לכל מעריך ממשי.

הדרישה a ≠ 1 נובעת מכך ש-1^x = 1 לכל x. לכן אי אפשר לשחזר את המעריך מתוך התוצאה: עבור תוצאה שונה מ-1 אין פתרון, ועבור התוצאה 1 כל מעריך מתאים.

הדרישה שהארגומנט יהיה חיובי נובעת מכך שחזקה של מספר חיובי היא תמיד חיובית: a^x > 0 לכל x ממשי. לכן לא קיים מעריך ממשי שייתן תוצאה אפס או שלילית. מכאן שביטויים כמו log_3 0 או log_2(-4) אינם מוגדרים.

חוקי הלוגריתמים: מכפלה, מנה וחזקה

חוקי הלוגריתמים נובעים ישירות מחוקי החזקות. בכל שימוש בחוק יש לוודא שכל הלוגריתמים המופיעים מוגדרים, כלומר שהארגומנטים שלהם חיוביים והבסיס מקיים a > 0, a ≠ 1.

לוגריתם של מכפלה

עבור x > 0 ו-y > 0:

log_a(xy) = log_a x + log_a y

הלוגריתם של מכפלת שני מספרים חיוביים שווה לסכום הלוגריתמים של כל אחד מהם.

הסבר: אם log_a x = m וגם log_a y = n, אז לפי ההגדרה a^m = x ו-a^n = y. לכן:

xy = a^m · a^n = a^(m+n)

ומכאן:

log_a(xy) = m + n = log_a x + log_a y

דוגמה: log_2(8 · 4) = log_2 8 + log_2 4 = 3 + 2 = 5.

לוגריתם של מנה

עבור x > 0 ו-y > 0:

log_a(x/y) = log_a x - log_a y

הלוגריתם של מנת שני מספרים חיוביים שווה להפרש הלוגריתמים של המונה והמכנה.

חוק זה נובע מחוק החזקות למנה:

a^m / a^n = a^(m-n)

דוגמה: log_3(27 / 9) = log_3 27 - log_3 9 = 3 - 2 = 1.

לוגריתם של חזקה

עבור x > 0 ועבור מעריך ממשי m:

log_a(x^m) = m · log_a x

הלוגריתם של חזקה שווה למכפלת המעריך בלוגריתם של בסיס החזקה.

דוגמה: log_2(8^4) = 4 · log_2 8 = 4 · 3 = 12.

חשוב: אין להשתמש בחוקים כאשר הארגומנטים אינם חיוביים. למשל, הביטוי log_4((-2)·(-8)) מוגדר, משום שהמכפלה היא 16, אך הביטוי log_4(-2) + log_4(-8) אינו מוגדר, כי לוגריתם של מספר שלילי אינו מוגדר.

תחום ההגדרה של הפונקציה הלוגריתמית

פונקציה לוגריתמית היא פונקציה מהצורה:

f(x) = log_a x

כאשר a קבוע ומקיים a > 0, a ≠ 1.

המשתנה x משמש כארגומנט של הלוגריתם, ולכן תחום ההגדרה של הפונקציה הבסיסית הוא:

x > 0

כלומר, הפונקציה מוגדרת לכל מספר חיובי, ואינה מוגדרת עבור x = 0 או עבור מספרים שליליים.

אם הלוגריתם מופעל על ביטוי התלוי ב-x, למשל log_a(g(x)), יש לדרוש שהביטוי הפנימי יהיה חיובי: g(x) > 0. עיקרון זה מאפשר למצוא תחום הגדרה גם בפונקציות מורכבות יותר.

נקודת חיתוך עם ציר x

נקודת חיתוך עם ציר x מתקבלת כאשר ערך הפונקציה הוא אפס:

log_a x = 0

לפי הגדרת הלוגריתם, משוואה זו שקולה ל-:

a^0 = x

ומכיוון ש-a^0 = 1 לכל בסיס חוקי, מתקבל:

x = 1

לכן הגרף של כל פונקציה לוגריתמית מהצורה f(x) = log_a x עובר בנקודה:

(1, 0)

זוהי נקודת החיתוך היחידה עם ציר x.

אין נקודת חיתוך עם ציר y, משום שנקודת חיתוך כזו מתקבלת כאשר x = 0, אך x = 0 אינו נמצא בתחום ההגדרה של הפונקציה הלוגריתמית.

אסימפטוטה אנכית

הישר x = 0 הוא אסימפטוטה אנכית של הגרף f(x) = log_a x.

אסימפטוטה אנכית היא ישר אנכי שהגרף מתקרב אליו ככל שהמשתנה x מתקרב לערך מסוים, אך אינו מגיע אליו. בפונקציה הלוגריתמית, x = 0 אינו שייך לתחום ההגדרה, ולכן הגרף אינו חותך את ציר y.

כאשר x שואף ל-0 מימין, כלומר דרך ערכים חיוביים קטנים יותר ויותר, ערכי הפונקציה גדלים בערכם המוחלט ללא חסם. כיוון ההתרחקות תלוי בבסיס:

• אם a > 1, אז כאשר x שואף ל-0 מימין, f(x) שואפת למינוס אינסוף.
• אם 0 < a < 1, אז כאשר x שואף ל-0 מימין, f(x) שואפת לאינסוף.

בשני המקרים הגרף מתקרב לישר x = 0 אך אינו מגיע אליו.

עלייה וירידה של הפונקציה הלוגריתמית

כיוון העלייה או הירידה של הפונקציה הלוגריתמית נקבע לפי הבסיס a:

• אם a > 1, הפונקציה f(x) = log_a x עולה ממש בכל תחום ההגדרה שלה.
• אם 0 < a < 1, הפונקציה f(x) = log_a x יורדת ממש בכל תחום ההגדרה שלה.

הסבר: הפונקציה הלוגריתמית היא הפונקציה ההפוכה של הפונקציה המעריכית y = a^x. כאשר a > 1, הפונקציה המעריכית עולה ממש, ולכן גם הפונקציה ההפוכה שלה עולה ממש. כאשר 0 < a < 1, הפונקציה המעריכית יורדת ממש, ולכן גם הפונקציה ההפוכה שלה יורדת ממש.

משמעות גרפית:

• עבור a > 1, ככל ש-x גדל, גם f(x) גדל.
• עבור 0 < a < 1, ככל ש-x גדל, f(x) קטן.

חיוביות ושליליות של הפונקציה הלוגריתמית

נקודת האפס של הפונקציה הלוגריתמית היא תמיד x = 1, משום ש-log_a 1 = 0. הסימן של הפונקציה בכל תחום נקבע לפי המיקום של x ביחס ל-1 ולפי הבסיס a.

עבור a > 1:

• בתחום 0 < x < 1, הפונקציה שלילית: f(x) < 0.
• בנקודה x = 1, הפונקציה מתאפסת: f(x) = 0.
• בתחום x > 1, הפונקציה חיובית: f(x) > 0.

עבור 0 < a < 1:

• בתחום 0 < x < 1, הפונקציה חיובית: f(x) > 0.
• בנקודה x = 1, הפונקציה מתאפסת: f(x) = 0.
• בתחום x > 1, הפונקציה שלילית: f(x) < 0.

הסבר: לכל בסיס חוקי מתקיים a^0 = 1, ולכן המעריך שנותן את התוצאה 1 הוא תמיד 0. אם a > 1, מעריך חיובי נותן תוצאה גדולה מ-1, ומעריך שלילי נותן תוצאה בין 0 ל-1. אם 0 < a < 1, המצב מתהפך: מעריך חיובי נותן תוצאה בין 0 ל-1, ומעריך שלילי נותן תוצאה גדולה מ-1.