ארגז הכלים לחישוב נגזרות

בשיעור זה נעבור מחישוב נגזרת על פי הגדרת הגבול אל מערכת כללים מעשית. הרעיון המרכזי הוא זיהוי המבנה האלגברי של הפונקציה: חיבור, חיסור, כפל, חילוק או הרכבה. לאחר הזיהוי מפעילים כלל קצר לכל שכבה, ובכך מצמצמים חישוב ארוך לסדרת צעדים ברורה. בנוסף נציג את הנגזרות של הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות ונראה כיצד הן משתלבות בכללים אלה.

כלל החזקה לפונקציה מהצורה $x^n$

פונקציית חזקה היא פונקציה מהצורה $f(x)=x^n$, שבה $n$ הוא מספר ממשי קבוע. עבור $n$ טבעי אפשר להוכיח את הכלל ישירות מהגדרת הנגזרת; עבור חזקות שליליות או רציונליות משתמשים בחוקי חזקות ובכללים שכבר הוכחו. הכלל תקף בכל נקודה שבה הפונקציה מוגדרת וגזירה.

אם $f(x)=x^n$, אז

$f'(x)=n x^{n-1}.$

המעריך יורד כמקדם, והחזקה של $x$ קטנה באחת.

דוגמה: נתונה $f(x)=x^5$. לפי הכלל, $f'(x)=5x^{4}$. עבור $g(x)=x^{-3}=\frac{1}{x^3}$ מתקבל $g'(x)=-3x^{-4}=-\frac{3}{x^4}$. עבור $h(x)=\sqrt{x}=x^{1/2}$ מתקבל $h'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$.

כלל הסכום וההפרש

אם $f$ ו-$g$ גזירות באותה נקודה, אז הנגזרת של הסכום או ההפרש שלהן היא סכום הנגזרות או הפרש הנגזרות:

$(f+g)'=f'+g', \qquad (f-g)'=f'-g'.$

מכאן נובע גם הכלל לכפל בקבוע: אם $c$ קבוע, אז $(cf)'=c f'$. לכן נגזרת של קומבינציה ליניארית של פונקציות היא אותה קומבינציה ליניארית של הנגזרות.

דוגמה: עבור $p(x)=4x^3-2x^2+7x-9$ נגזור כל איבר בנפרד:

$p'(x)=4\cdot 3x^2-2\cdot 2x+7=12x^2-4x+7.$

הקבוע החופשי $-9$ נעלם, משום שהנגזרת של פונקציה קבועה היא אפס. אם נגזור את $7x$, נקבל בדיוק את המקדם $7$, משום שזו פונקציה ליניארית עם שיפוע קבוע.

כלל המכפלה

כאשר פונקציה כתובה כמכפלה של שתי פונקציות גזירות, $h(x)=f(x)g(x)$, שני הגורמים עשויים להשתנות בו־זמנית. לכן הנגזרת אינה מכפלת הנגזרות. כלל המכפלה קובע:

$h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).$

במילים: נגזרת הראשונה כפול השנייה, ועוד הראשונה כפול נגזרת השנייה.

דוגמה: נתונה $h(x)=x^2(3x+1)$. נסמן $f(x)=x^2$ ו-$g(x)=3x+1$. אז $f'(x)=2x$ ו-$g'(x)=3$. לכן

$h'(x)=2x(3x+1)+x^2\cdot 3=6x^2+2x+3x^2=9x^2+2x.$

אם נפתח את הסוגריים לפני הגזירה, נקבל $h(x)=3x^3+x^2$, וגזירה ישירה תיתן $h'(x)=9x^2+2x$, כצפוי.

כלל המנה

אם $f$ ו-$g$ גזירות ו-$g(x)\neq 0$, אז הנגזרת של המנה $q(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$ היא

$q'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}.$

המונה בנוי כהפרש: נגזרת המונה כפול המכנה, פחות המונה כפול נגזרת המכנה. סדר האיברים חשוב, משום שהחלפתם משנה את הסימן.

דוגמה: עבור $q(x)=\frac{x+1}{x-1}$ נזהה $f(x)=x+1$, $g(x)=x-1$, ולכן $f'(x)=1$, $g'(x)=1$. לפי הכלל,

$q'(x)=\frac{1\cdot(x-1)-(x+1)\cdot 1}{(x-1)^2}=\frac{x-1-x-1}{(x-1)^2}=\frac{-2}{(x-1)^2}.$

הנגזרת מוגדרת לכל $x\neq 1$, בהתאם לתחום ההגדרה של הפונקציה. בנקודה שבה המכנה מתאפס, גם הפונקציה וגם הנגזרת אינן מוגדרות.

כלל השרשרת לפונקציה מורכבת

פונקציה מורכבת, או הרכבה, היא פונקציה מהצורה $h(x)=g(f(x))$, כלומר $h=g\circ f$. הפונקציה $f$ נקראת הפונקציה הפנימית, והפונקציה $g$ נקראת הפונקציה החיצונית. אם $f$ גזירה בנקודה $x$ ו-$g$ גזירה בנקודה $f(x)$, אז $h$ גזירה ב-$x$ ונגזרתה היא

$h'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x).$

בכתיב משתני עזר, אם $u=f(x)$ ו-$y=g(u)$, אז $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$.

דוגמה: נתונה $h(x)=(2x+1)^5$. נבחר $u=2x+1$ ו-$g(u)=u^5$. אז $u'=2$ ו-$g'(u)=5u^4$. לכן

$h'(x)=5(2x+1)^4\cdot 2=10(2x+1)^4.$

הכלל מראה שהנגזרת של החזקה החיצונית מופיעה תחילה, ואחריה מכפילים בנגזרת הביטוי הפנימי. כאשר יש שלוש שכבות או יותר, מפעילים את הכלל מהשכבה החיצונית ביותר אל הפנימית ביותר, שלב אחר שלב.

נגזרות הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות

הפונקציות הטריגונומטריות $\sin x$ ו-$\cos x$ גזירות לכל $x$ ממשי, ונגזרותיהן הן

$(\sin x)'=\cos x, \qquad (\cos x)'=-\sin x.$

הסימן השלילי בנגזרת הקוסינוס נובע מכיוון השינוי של ערכי הפונקציה על מעגל היחידה: כאשר הזווית גדלה ליד $x=0$, ערך הקוסינוס קטן, ולכן קצב השינוי המיידי שלילי.

נגזרת הטנגנס מתקבלת מכלל המנה. נגדיר $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$, בתחום שבו $\cos x\neq 0$. אז

$(\tan x)'=\frac{\cos x\cdot\cos x-\sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x}=\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}=\frac{1}{\cos^2 x}.$

נהוג לסמן $\sec x=\frac{1}{\cos x}$, ולכן אפשר גם לכתוב $(\tan x)'=\sec^2 x$. באופן דומה, עבור $\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$, בתחום שבו $\sin x\neq 0$, מתקבל $(\cot x)'=-\frac{1}{\sin^2 x}$. אם מסמנים $\csc x=\frac{1}{\sin x}$, אפשר לכתוב גם $(\cot x)'=-\csc^2 x$.

כאשר פונקציה טריגונומטרית מופיעה בחזקה, למשל $\sin^2 x$, מתייחסים אליה כאל הרכבה: $\sin^2 x=(\sin x)^2$. לכן לפי כלל החזקה וכלל השרשרת,

$(\sin^2 x)'=2\sin x\cdot\cos x.$

דוגמה: עבור $f(x)=\sin(3x)$ נשתמש בכלל השרשרת עם הפונקציה הפנימית $3x$. הנגזרת של $\sin u$ היא $\cos u$, והנגזרת של $3x$ היא $3$, ולכן $f'(x)=3\cos(3x)$. עבור $g(x)=\cos(x^2)$ מתקבל $g'(x)=-\sin(x^2)\cdot 2x=-2x\sin(x^2)$.

שילוב כללי גזירה בפונקציות מרובות שכבות

כאשר פונקציה בנויה משכבות של פעולות, יש לזהות תחילה את הפעולה החיצונית ביותר, אחר כך את הפעולה שמתחתיה, ולהמשיך עד לביטוי הפנימי. למשל, אם הפונקציה היא מנה שבה המונה הוא פונקציה טריגונומטרית מורכבת, נשתמש תחילה בכלל המנה, לאחר מכן בכלל השרשרת במונה, ולבסוף בנגזרות הטריגונומטריות.

בעת זיהוי שכבות מומלץ לעבוד מהחוץ פנימה:

• הפעולה שמבצעים אחרונה בעת בניית הביטוי היא לרוב הפעולה החיצונית.
• אם הפונקציה היא מנה, כלל המנה הוא בדרך כלל השלב הראשון.
• אם מופיעה חזקה של ביטוי שלם, כלל החזקה מופעל לפני גזירת הביטוי הפנימי.
• אם מופיעה פונקציה טריגונומטרית של ביטוי, גוזרים את הפונקציה החיצונית ומכפילים בנגזרת הביטוי הפנימי.

דוגמה: נתונה $f(x)=\frac{\sin(2x)}{x^2+1}$. נסמן $a(x)=\sin(2x)$ ו-$b(x)=x^2+1$. אז $a'(x)=2\cos(2x)$ לפי כלל השרשרת, ו-$b'(x)=2x$. לפי כלל המנה,

$f'(x)=\frac{2\cos(2x)(x^2+1)-\sin(2x)\cdot 2x}{(x^2+1)^2}.$

אפשר להשאיר את התשובה בצורה זו, או לפשט את המונה:

$f'(x)=\frac{2(x^2+1)\cos(2x)-2x\sin(2x)}{(x^2+1)^2}.$

דוגמה נוספת: $g(x)=\sqrt{\cos(3x)}=(\cos(3x))^{1/2}$. כאן הפעולה החיצונית היא חזקת $\frac{1}{2}$, אחריה הקוסינוס, ואחריה הביטוי $3x$. לכן

$g'(x)=\frac{1}{2}(\cos(3x))^{-1/2}\cdot(-\sin(3x))\cdot 3=-\frac{3\sin(3x)}{2\sqrt{\cos(3x)}}.$

הנגזרת מוגדרת במקומות שבהם $\cos(3x)>0$, משום שהשורש במכנה אינו יכול להתאפס והביטוי מתחת לשורש חייב להיות חיובי בתחום הממשי.