הצבה ושינוי משתנה באינטגרציה

שיעור זה עוסק בשיטת ההצבה, שהיא אחת הדרכים המרכזיות לחישוב אינטגרלים. הרעיון המרכזי הוא לזהות באינטגרנד פונקציה פנימית ונגזרתה, להחליף את המשתנה כך שהביטוי יתאים לאינטגרל מיידי, ובאינטגרל מסוים להחליף גם את גבולות האינטגרציה.

זיהוי נגזרת פנימית באינטגרנד

שיטת ההצבה היא ההיפוך של כלל השרשרת לנגזרת. אם פונקציה מורכבת היא מהצורה $F(g(x))$, אז נגזרתה היא $F'(g(x))g'(x)$. לכן, כאשר האינטגרנד מכיל ביטוי מהצורה $f(g(x))g'(x)$, אפשר לראות בו נגזרת של פונקציה מורכבת.

האינטגרנד הוא הביטוי שמופיע בתוך האינטגרל, כלומר הפונקציה שאותה משלבים. פונקציה קדומה של אינטגרנד היא פונקציה שהנגזרת שלה שווה לאינטגרנד. הנגזרת הפנימית היא נגזרתו של הביטוי הפנימי $g(x)$, והיא מופיעה כגורם כפולה באינטגרנד. הדיפרנציאל $dx$ מציין את משתנה האינטגרציה, ובעת ההצבה הוא מוחלף בדיפרנציאל החדש $du$.

דוגמה: נחשב את

$\int 2x\cos(x^2)\,dx.$

הביטוי הפנימי הוא $x^2$, והנגזרת שלו היא $2x$. לכן נגדיר $u=x^2$, ומתקיים $du=2x\,dx$. האינטגרל נעשה

$\int \cos u\,du = \sin u + C.$

נחזור למשתנה המקורי ונקבל:

$\int 2x\cos(x^2)\,dx = \sin(x^2)+C.$

הקבוע $C$ נוסף באינטגרל לא מסוים, משום שלאינטגרנד יש בדרך כלל אינסוף פונקציות קדומות הנבדלות ביניהן בקבוע.

בחירת המשתנה החדש

בחירת המשתנה החדש $u$ נעשית לפי זיהוי הפונקציה הפנימית. בדרך כלל מחפשים ביטוי שנמצא בתוך פונקציה אחרת, ובודקים אם נגזרתו מופיעה באינטגרנד, אולי עד כדי כפל בקבוע. אם אין זיהוי מיידי, לעיתים מועיל לפשט תחילה את האינטגרנד באמצעות פתיחת סוגריים, פירוק שבר או שימוש בזהות אלגברית.

טבלת זיהויים נפוצים:

צורה באינטגרנד	בחירה מתאימה	דיפרנציאל
$f(g(x))g'(x)$	$u=g(x)$	$du=g'(x)dx$
$(ax+b)^n$	$u=ax+b$	$du=a\,dx$
$e^{g(x)}g'(x)$	$u=g(x)$	$du=g'(x)dx$
$\frac{g'(x)}{g(x)}$	$u=g(x)$	$du=g'(x)dx$
$\sqrt{g(x)}g'(x)$	$u=g(x)$	$du=g'(x)dx$

כאשר מופיע שורש, נוח לבחור את הביטוי שבתוך השורש. כאשר מופיעה פונקציה של ביטוי, למשל אקספוננט או פונקציה טריגונומטרית, נוח לבחור את הביטוי שבתוך הפונקציה. כאשר המונה שווה לנגזרת המכנה, נוח לבחור את המכנה כמשתנה החדש.

דוגמה:

$\int \frac{2x}{x^2+3}\,dx.$

נבחר $u=x^2+3$, ולכן $du=2x\,dx$. האינטגרל הוא

$\int \frac{1}{u}\,du = \ln|u|+C.$

מכיוון ש-$x^2+3>0$ לכל $x$, אפשר לכתוב:

$\int \frac{2x}{x^2+3}\,dx = \ln(x^2+3)+C.$

החלפת כל האינטגרנד והדיפרנציאל

הצבה תקפה מחייבת החלפה מלאה של האינטגרנד ושל הדיפרנציאל. לאחר בחירת $u$, יש לבטא את כל הביטוי באינטגרל באמצעות $u$ ו-$du$, כך שלא יישאר בו המשתנה המקורי $x$. הדיפרנציאל החדש אינו סימן נפרד בלבד, אלא חלק מההחלפה: הוא מבטא את הקשר בין $dx$ לבין $du$.

סדר פעולות נוח באינטגרל לא מסוים:

• בוחרים משתנה חדש $u$.
• מחשבים את $du$.
• מחליפים את האינטגרנד ואת $dx$ בביטויים התלויים ב-$u$.
• מחשבים את האינטגרל במונחי $u$.
• חוזרים למשתנה המקורי $x$ ומוסיפים את קבוע האינטגרציה $C$.

דוגמה: נחשב את

$\int 3x^2 e^{x^3}\,dx.$

נבחר $u=x^3$, ולכן $du=3x^2\,dx$. האינטגרל כולו מתחלף ל-

$\int e^u\,du,$

שהוא אינטגרל מיידי. לכן:

$\int e^u\,du = e^u+C = e^{x^3}+C.$

אם לאחר ההצבה נשאר $x$ באינטגרנד, בדרך כלל הדבר מעיד שההצבה לא הושלמה או שהמשתנה לא נבחר היטב. באינטגרל לא מסוים, לאחר מציאת הפונקציה הקדומה במונחי $u$, חוזרים למשתנה המקורי $x$, משום שהתשובה הסופית צריכה להיות פונקציה של המשתנה המקורי.

התאמת קבועים כאשר הנגזרת הפנימית אינה מופיעה במלואה

לעתים הנגזרת הפנימית מופיעה באינטגרנד עד כדי כפל בקבוע. במצב כזה אין צורך לוותר על ההצבה; אפשר להשלים את החסר באמצעות הוצאת קבוע מהאינטגרל. אם $du$ שווה לביטוי הקיים כפול קבוע, מחלקים בקבוע זה.

דוגמה: נחשב את

$\int x e^{x^2}\,dx.$

נבחר $u=x^2$, ולכן $du=2x\,dx$. באינטגרנד מופיע $x\,dx$, כלומר חצי מ-$du$. לכן:

$x\,dx = \frac{1}{2}du.$

נקבל:

$$\int x e^{x^2}\,dx = \frac{1}{2}\int e^u\,du = \frac{1}{2}e^u+C = \frac{1}{2}e^{x^2}+C.$$

דוגמה דומה עם ביטוי ליניארי:

$\int (3x-2)^5\,dx.$

נבחר $u=3x-2$, ולכן $du=3\,dx$, כלומר $dx=\frac{1}{3}du$. נקבל:

$$\int (3x-2)^5\,dx = \frac{1}{3}\int u^5\,du = \frac{1}{3}\cdot\frac{u^6}{6}+C = \frac{(3x-2)^6}{18}+C.$$

חשוב להבחין בין קבוע חסר לבין ביטוי חסר שתלוי ב-$x$. קבוע ניתן להשלמה באמצעות כפל וחילוק, אך אם חסר גורם שאינו קבוע, ההצבה הפשוטה אינה מספיקה ויש לבחון דרך אחרת.

שינוי גבולות באינטגרל מסוים

באינטגרל מסוים יש שני גבולות אינטגרציה, תחתון ועליון. אם מבצעים החלפת משתנה, יש להחליף גם את הגבולות. אם $u=g(x)$, אז הגבול התחתון החדש הוא $g(a)$ והגבול העליון החדש הוא $g(b)$. הנוסחה היא:

$$\int_a^b f(g(x))g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du.$$

הטעם בהחלפת הגבולות הוא שהאינטגרל המסוים מחושב לאחר ההצבה לפי ערכי המשתנה החדש בקצוות הקטע. כאשר ההצבה מתאימה והפונקציות המעורבות רציפות בקטע הרלוונטי, המעבר בין הגבולות תקף.

דוגמה: נחשב את

$\int_0^1 2x(x^2+1)^3\,dx.$

נבחר $u=x^2+1$, ולכן $du=2x\,dx$. נחליף את הגבולות:

• כאשר $x=0$, מתקבל $u=0^2+1=1$.
• כאשר $x=1$, מתקבל $u=1^2+1=2$.

לכן האינטגרל הוא

$\int_1^2 u^3\,du.$

נחשב:

$$\left[\frac{u^4}{4}\right]_1^2 = \frac{16}{4}-\frac{1}{4} = \frac{15}{4}.$$

אפשר גם לבצע את האינטגרציה במונחי $u$, לחזור ל-$x$, ולהציב את הגבולות המקוריים. שתי הדרכים שקולות, אך אין לערבב ביניהן: אם נשארים עם המשתנה $u$, מציבים את הגבולות החדשים; אם חוזרים למשתנה $x$, מציבים את הגבולות המקוריים.

הצבה בביטויים טריגונומטריים

גם בביטויים טריגונומטריים שיטת ההצבה מתבססת על זיהוי פונקציה ונגזרתה. בחירת המשתנה אינה תמיד יחידה, ולעיתים כמה בחירות שונות מובילות לתשובות שנבדלות בקבוע בלבד.

דוגמה: נחשב את

$\int \sin x \cos x\,dx.$

נבחר $u=\sin x$, ולכן $du=\cos x\,dx$. האינטגרל נעשה:

$\int u\,du = \frac{u^2}{2}+C.$

נחזור למשתנה המקורי:

$\int \sin x \cos x\,dx = \frac{1}{2}\sin^2 x+C.$

בחירה אחרת הייתה אפשרית: אם נבחר $u=\cos x$, אז $du=-\sin x\,dx$, ונקבל

$-\frac{1}{2}\cos^2 x+C.$

שתי התשובות הן פונקציות קדומות של אותו אינטגרנד, והן נבדלות בקבוע בלבד.

הצבה באינטגרל של מנה וביטויים עם שורשים

כאשר האינטגרנד הוא מנה שבה המונה שווה לנגזרת המכנה, ההצבה הטבעית היא $u$ שווה למכנה. דוגמה:

$\int \frac{3x^2}{x^3+4}\,dx.$

נבחר $u=x^3+4$, ולכן $du=3x^2\,dx$. האינטגרל הוא

$\int \frac{1}{u}\,du = \ln|u|+C.$

לכן:

$$\int \frac{3x^2}{x^3+4}\,dx = \ln|x^3+4|+C.$$

בביטויים עם שורשים, נוח לבחור את הביטוי שבתוך השורש כמשתנה החדש. דוגמה:

$\int \frac{x}{\sqrt{x^2+9}}\,dx.$

נבחר $u=x^2+9$, ולכן $du=2x\,dx$, כלומר $x\,dx=\frac{1}{2}du$. נקבל:

$$\frac{1}{2}\int u^{-1/2}\,du = \frac{1}{2}\cdot 2u^{1/2}+C = \sqrt{u}+C.$$

נחזור למשתנה המקורי:

$$\int \frac{x}{\sqrt{x^2+9}}\,dx = \sqrt{x^2+9}+C.$$