זוויות מרכזיות והיקפיות במעגל

בשיעור זה נבחין בין זווית שקודקודה במרכז המעגל לבין זווית שקודקודה על המעגל, ונבין כיצד הן קשורות לקשתות ולמיתרים. הרעיון המרכזי הוא שזווית היקפית נקבעת לפי מחצית הקשת שעליה היא נשענת, ולכן ניתן לעבור בין זוויות, קשתות ומיתרים באותו מעגל.

זווית מרכזית, זווית היקפית וקשת במעגל

במעגל שמרכזו O, מיתר הוא קטע ששתי נקודות הקצה שלו נמצאות על המעגל. קשת היא החלק של המעגל הכלוא בין שתי נקודות על המעגל. שתי נקודות על המעגל מחלקות אותו לשתי קשתות: הקשת הקצרה יותר נקראת בדרך כלל הקשת הקטנה, והשנייה היא הקשת הגדולה.

זווית מרכזית היא זווית שקודקודה במרכז המעגל ושוקיה הן רדיוסים אל שתי נקודות על המעגל. אם שוקי הזווית מגיעות לנקודות A ו-B, הזווית המרכזית נשענת על המיתר AB ועל הקשת AB.

זווית היקפית היא זווית שקודקודה על המעגל ושוקיה הן מיתרים היוצאות מאותה נקודה אל שתי נקודות אחרות על המעגל. הזווית ההיקפית נשענת על הקשת שנמצאת מולה, כלומר הקשת שבין שתי הנקודות שאליהן מגיעות השוקיים, ואינה כוללת את קודקוד הזווית.

כדי למדוד קשת, משתמשים במידה הזוויתית של הזווית המרכזית הנשענת עליה. לכן קשת שזוויתה המרכזית היא 60° היא קשת בת 60°, וקשת שזוויתה המרכזית 180° היא חצי מעגל.

הקשת שעליה נשענת זווית היקפית

כאשר נתונה זווית היקפית, חשוב לזהות תחילה את הקשת שעליה היא נשענת. הזווית נשענת על הקשת שמול הקודקוד, בין שתי הנקודות שאליהן מגיעות שוקי הזווית. אין להתבלבל בינה לבין הקשת שעליה יושב קודקוד הזווית.

אם המעגל מחולק לשתי קשתות בין אותן שתי נקודות, יש לציין אם מדובר בקשת הקטנה או בקשת הגדולה. לדוגמה, אם הקשת הקטנה AB היא 80°, זווית היקפית הנשענת עליה היא 40°. אם הזווית נשענת על הקשת הגדולה AB, שמידתה 280°, אז גודלה הוא 140°.

שתי הקשתות בין אותן נקודות משלימות יחד מעגל שלם, כלומר סכומן 360°. לכן שתי זוויות היקפיות שנשענות על שתי הקשתות המשלימות בין אותן נקודות משלימות זו את זו ל-180°.

הקשר בין זווית מרכזית לזווית היקפית הנשענות על אותה קשת

הקשר המרכזי במעגל הוא: זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת. אם הזווית המרכזית היא α, אז זווית היקפית הנשענת על אותה קשת היא α/2.

ניתן לנסח זאת גם באמצעות הקשת: זווית היקפית שווה למחצית מידת הקשת שעליה היא נשענת. אם קשת בת 120°, זווית היקפית הנשענת עליה היא 60°. אם קשת בת 70°, זווית היקפית הנשענת עליה היא 35°.

הקשר הזה מאפשר מעבר בין שלושה גדלים: זווית מרכזית, זווית היקפית ומידת הקשת. כאשר ידוע אחד מהם, אפשר לחשב את השניים האחרים באותו מעגל.

חשוב לשים לב שהזווית ההיקפית והזווית המרכזית נשענות על אותה קשת, אך הקודקודים שלהן שונים: קודקוד הזווית המרכזית נמצא במרכז המעגל, וקודקוד הזווית ההיקפית נמצא על המעגל.

זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת

אם שתי זוויות היקפיות נשענות על אותה קשת, הן שוות זו לזו. הסיבה נובעת ישירות מהקשר הקודם: כל אחת מהן שווה למחצית אותה קשת, ולכן שתיהן שוות לאותו גודל.

לדוגמה, אם במעגל יש נקודות A ו-B, ושני קודקודים C ו-D הנמצאים על המעגל כך ששתי הזוויות ACB ו-ADB נשענות על הקשת AB, אז שתי הזוויות שוות. אין חשיבות למיקום המדויק של הקודקוד על המעגל, כל עוד הזווית נשענת על אותה קשת.

כאשר הקודקודים נמצאים בצדדים שונים של המיתר, הזוויות אינן נשענות על אותה קשת אלא על שתי קשתות שונות זו מזו. במקרה כזה הן אינן בהכרח שוות; הן נשענות על קשתות שסכומן מעגל שלם, ולכן סכום הזוויות הוא 180°.

זוויות מרכזיות, מיתרים וקשתות שווים

באותו מעגל יש קשר הדוק בין זוויות מרכזיות, מיתרים וקשתות. שתי זוויות מרכזיות שוות זו לזו אם ורק אם שני המיתרים המתאימים להן שווים זה לזה.

הסבר:

• אם שתי זוויות מרכזיות שוות, שוקיהן הן רדיוסים שווים, והזווית שביניהם שווה. לכן שני המשולשים הנוצרים שווים, והמיתרים שמול הזוויות שווים.
• אם שני מיתרים שווים, אפשר לחבר את קצותיהם אל המרכז ולקבל שני משולשים שצלעותיהם שוות: שני רדיוסים ומיתר שווה. לכן גם הזוויות המרכזיות שוות.

מכאן נובע גם הקשר לקשתות: אם שתי קשתות שוות זו לזו, אז שני המיתרים המתאימים להן שווים זה לזה. קשתות שוות הן בעלות מידה זוויתית שווה, ולכן הזוויות המרכזיות הנשענות עליהן שוות. לפי המשפט הקודם, גם המיתרים המתאימים להן שווים.

אנך ממרכז המעגל למיתר וחציית הזווית המרכזית והקשת

אם ישר יוצא ממרכז המעגל ומאונך למיתר, הוא חוצה את הזווית המרכזית הנשענת על אותו מיתר ואת הקשת המתאימה לו. נסמן מעגל שמרכזו O, מיתר AB, וישר OM העובר דרך O ומאונך ל-AB.

האנך יוצר שני משולשים ישרי זווית: OAM ו-OBM. בשני המשולשים היתר הוא רדיוס, ולכן OA=OB, והניצב OM משותף. לכן שני המשולשים שווים, ומתקבלות זוויות שוות: AOM=MOB.

שוויון הזוויות המרכזיות אומר שהישר OM חוצה את הזווית AOB. שוויון הזוויות גם אומר שהקשתות המתאימות שוות: הקשת AM שווה לקשת MB. לכן האנך העובר דרך מרכז המעגל ומאונך למיתר חוצה את הקשת המתאימה למיתר.

זוויות היקפיות שוות וקשתות ומיתרים שווים

הקשר בין זוויות היקפיות לקשתות ולמיתרים הוא דו־סטרי. לזוויות היקפיות שוות מתאימות קשתות ומיתרים שווים, ולהפך.

אם שתי זוויות היקפיות שוות, אז הקשתות שעליהן הן נשענות שוות, כי כל קשת שווה לפי שניים מהזווית ההיקפית. אם הקשתות שוות, גם הזוויות המרכזיות הנשענות עליהן שוות, ולכן גם המיתרים המתאימים שווים.

להפך: אם נתונות קשתות שוות או מיתרים שווים באותו מעגל, אז הזוויות המרכזיות שוות. מכיוון שכל זווית היקפית הנשענת על אותה קשת היא מחצית הזווית המרכזית, גם הזוויות ההיקפיות המתאימות שוות.

כלומר, באותו מעגל אפשר לעבור בין ארבעה תיאורים שקולים: זוויות היקפיות שוות, קשתות שוות, זוויות מרכזיות שוות ומיתרים שווים.

זווית היקפית הנשענת על קוטר

קוטר הוא מיתר העובר דרך מרכז המעגל. קוטר מחלק את המעגל לשתי קשתות שוות, שכל אחת מהן היא חצי מעגל ומידתה 180°.

אם זווית היקפית נשענת על קוטר, הקשת שעליה היא נשענת היא חצי מעגל, כלומר 180°. לכן הזווית ההיקפית שווה למחצית 180°, והיא 90°. לפיכך, זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה.

גם הטענה ההפוכה נכונה: זווית היקפית בת 90° נשענת על קוטר. אם זווית היקפית היא 90°, הקשת שעליה היא נשענת היא 180°. קשת בת 180° היא חצי מעגל, ולכן המיתר המחבר את שתי נקודות הקצה של הקשת עובר דרך מרכז המעגל, כלומר הוא קוטר.