חקירה ושרטוט של פונקציות

תהליך החקירה של פונקציה מאגד תכונות אלגבריות וגיאומטריות לכדי סקיצה של הגרף. הרעיון המרכזי הוא שכל שלב מצמצם אי־ודאות: תחום ההגדרה והחיתוכים קובעים את המסגרת, האסימפטוטות מתארות התנהגות ליד נקודות קיצוניות, ושתי הנגזרות קובעות עלייה, ירידה, קמירות וקעירות.

תחום הגדרה, חיתוכים עם הצירים ואסימפטוטות

השלב הראשון הוא מציאת תחום ההגדרה, קבוצת הערכים של $x$ שעבורם $f(x)$ מוגדר. בפולינום התחום הוא כל הממשיים. בפונקציה רציונלית יש להוציא כל ערך שמאפס את המכנה. את תחום ההגדרה יש לרשום כאיחוד קטעים, למשל $(-\infty,1)\cup(1,\infty)$, משום שזהו התיאור המדויק של כל הערכים המותרים.

לאחר מכן מוצאים חיתוכים עם הצירים. חיתוך עם ציר $x$ מתקבל מפתרון $f(x)=0$, וחיתוך עם ציר $y$ מתקבל מהצבת $x=0$, אם $0$ בתחום.

אסימפטוטה היא ישר שהגרף מתקרב אליו ללא גבול. נבחין בשלושה סוגים:

• אסימפטוטה אנכית: $x=a$ אם לפחות אחד מהגבולות החד־צדדיים של $f(x)$ ב־$a$ הוא $\pm\infty$.
• אסימפטוטה אופקית: $y=L$ אם $\lim_{x\to\infty}f(x)=L$ או $\lim_{x\to-\infty}f(x)=L$.
• אסימפטוטה משופעת: $y=ax+b$ אם $\lim_{x\to\infty}[f(x)-(ax+b)]=0$, או באופן דומה עבור $x\to-\infty$. בפונקציות רציונליות מוצאים אותה בעזרת חילוק פולינומים. אם יש אסימפטוטה משופעת, לא תיתכן אסימפטוטה אופקית לאותו כיוון אינסוף, משום שהגרף אינו יכול להתקרב לשני ישרים שונים באותו כיוון.

דוגמה: נתונה

$f(x)=\frac{x^2-4}{x-1}.$

תחום ההגדרה הוא $x\neq 1$. חיתוכים עם ציר $x$: $x^2-4=0$, ולכן $x=2$ או $x=-2$. חיתוך עם ציר $y$: $f(0)=4$, כלומר $(0,4)$.

המכנה מתאפס ב־$x=1$ והמונה אינו מתאפס שם, ולכן יש אסימפטוטה אנכית $x=1$. נבצע חילוק פולינומים:

$\frac{x^2-4}{x-1}=x+1-\frac{3}{x-1}.$

כאשר $x$ שואף לאינסוף, השבר שואף לאפס, ולכן יש אסימפטוטה משופעת $y=x+1$; אין אסימפטוטה אופקית.

שילוב מידע משתי הנגזרות

הנגזרת הראשונה $f'(x)$ מתארת את קצב השינוי של הפונקציה. כאשר $f'(x)>0$ הפונקציה עולה, וכאשר $f'(x)<0$ היא יורדת. נקודה שבה $f'(x)=0$ או שבה $f'$ אינה מוגדרת היא נקודה חשודה לקיצון מקומי, ויש לבדוק שינוי סימן של $f'$ סביבה.

הנגזרת השנייה $f''(x)$ מתארת את קצב השינוי של $f'$. כאשר $f''(x)>0$ הפונקציה קמורה (קעורה כלפי מעלה), וכאשר $f''(x)<0$ היא קעורה (קעורה כלפי מטה). נקודת פיתול היא נקודה בתחום שבה משתנה סוג הקמירות. נקודות חשודות לפיתול הן נקודות שבהן $f''(x)=0$ או שבהן $f''$ אינה מוגדרת, ויש לבדוק בהן שינוי סימן.

בדיקת הנגזרת השנייה יכולה לשמש גם לסיווג קיצון: אם $f'(x_0)=0$ ו־$f''(x_0)>0$, יש מינימום מקומי; אם $f''(x_0)<0$, יש מקסימום מקומי. אם $f''(x_0)=0$, הבדיקה אינה מכרעת ויש לחזור לסימן $f'$.

טבלת הסימנים הבאה מקשרת בין שתי הנגזרות לצורת הגרף:

סימן $f'$	סימן $f''$	משמעות לגרף
$+$	$+$	הפונקציה עולה וקמורה
$+$	$-$	הפונקציה עולה וקעורה
$-$	$+$	הפונקציה יורדת וקמורה
$-$	$-$	הפונקציה יורדת וקעורה

סדר עבודה נוח הוא: מציאת $f'$ ונקודות חשודות לקיצון, בניית טבלת סימנים ל־$f'$, מציאת $f''$ ונקודות חשודות לפיתול, בדיקת סימן $f''$, ולבסוף חיבור המידע עם תחום, חיתוכים ואסימפטוטות.

דוגמה: נתונה

$f(x)=x^3-3x.$

הנגזרת הראשונה היא

$f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1).$

הנקודות החשודות הן $x=-1$ ו־$x=1$. הפונקציה עולה בתחומים $x<-1$ ו־$x>1$, ויורדת בתחום $-10$ היא קמורה. ב־$x=0$ יש שינוי סימן של $f''$, ולכן זו נקודת פיתול בשיעורים $(0,0)$.

חקירת פולינומים

פונקציית פולינום היא פונקציה מהצורה

$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0,$

כאשר $a_n\neq 0$. תחום ההגדרה של כל פולינום הוא כל הממשיים, והוא רציף בכל התחום. לגרף פולינום אין אסימפטוטות.

ההתנהגות באינסוף תלויה במעלה ובמקדם המוביל. בפולינום ממעלה זוגית עם מקדם מוביל חיובי, $f(x)\to\infty$ בשני הקצוות, והטווח חסום מלרע. אם המקדם המוביל שלילי, הטווח חסום מלעיל. בפולינום ממעלה אי־זוגית הטווח הוא כל הממשיים. מספר נקודות הקיצון של פולינום ממעלה $n$ אינו עולה על $n-1$. כדי לקבוע אם נקודת קיצון היא מקומית או מוחלטת, משווים את ערכי הפונקציה בנקודות הקיצון ובודקים את ההתנהגות באינסוף.

דוגמה: נתונה

$f(x)=x^4-2x^2.$

זו פונקציית פולינום ממעלה רביעית, ולכן היא מוגדרת ורציפה לכל $x$, ואין לה אסימפטוטות. חיתוכים עם ציר $x$:

$x^4-2x^2=x^2(x^2-2)=0,$

ולכן $x=0$ או $x=\pm\sqrt{2}$.

הנגזרת הראשונה היא

$f'(x)=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1).$

הנקודות החשודות הן $x=-1,0,1$. הנגזרת השנייה היא

$f''(x)=12x^2-4.$

בנקודה $x=-1$ מתקבל $f''(-1)=8>0$, ולכן יש מינימום מקומי וערכו $f(-1)=-1$. בנקודה $x=0$ מתקבל $f''(0)=-4<0$, ולכן יש מקסימום מקומי וערכו $f(0)=0$. בנקודה $x=1$ מתקבל $f''(1)=8>0$, ולכן יש מינימום מקומי וערכו $f(1)=-1$.

נקודות הפיתול מתקבלות מ־$f''(x)=0$, כלומר $x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$, ובשתיהן משתנה סימן הנגזרת השנייה. מכיוון שהמעלה זוגית והמקדם המוביל חיובי, $f(x)\to\infty$ בשני הקצוות, והטווח הוא $[-1,\infty)$.

חקירת פונקציות רציונליות

פונקציה רציונלית היא מנה של שני פולינומים:

$f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}.$

תחום ההגדרה הוא כל הממשיים פרט לערכים שמאפסים את $q(x)$. לפני מציאת אסימפטוטות אנכיות כדאי לצמצם גורמים משותפים. אם גורם $(x-a)$ מצטמצם, בנקודה $x=a$ עשויה להיות נקודת אי־רציפות סליקה, כלומר חור בגרף. אם לאחר הצמצום $q(a)=0$ ו־$p(a)\neq 0$, אז $x=a$ אסימפטוטה אנכית.

האסימפטוטות האופקיות והמשופעות נקבעות לפי היחס בין מעלת המונה $m$ למעלת המכנה $n$:

יחס המעלות	התנהגות באינסוף
$mn+1$	אין אסימפטוטה אופקית ואין משופעת

לאחר מציאת תחום ואסימפטוטות משלימים את החקירה בעזרת הנגזרות. לעיתים נוח לפשט את הפונקציה כסכום של פולינום ושבר פשוט לפני הגזירה. בניגוד לפולינום, לפונקציה רציונלית יכולות להיות נקודות אי־רציפות, ולכן טבלת הסימנים של הנגזרת חייבת להתייחס בנפרד לכל ענף בתחום.

נחזור לפונקציה

$f(x)=\frac{x^2-4}{x-1}.$

כבר מצאנו שתחומה $x\neq 1$, שיש לה אסימפטוטה אנכית $x=1$ ואסימפטוטה משופעת $y=x+1$, ושהיא חותכת את ציר $x$ בנקודות $(2,0)$ ו־$(-2,0)$ ואת ציר $y$ בנקודה $(0,4)$. בעזרת הצורה המפושטת

$f(x)=x+1-\frac{3}{x-1}$

נקבל

$f'(x)=1+\frac{3}{(x-1)^2}.$

הביטוי $\frac{3}{(x-1)^2}$ חיובי לכל $x\neq 1$, ולכן $f'(x)>1$ בכל תחום ההגדרה. מכאן שהפונקציה עולה בכל אחד משני הענפים, ואין נקודות קיצון.

הנגזרת השנייה היא

$f''(x)=-\frac{6}{(x-1)^3}.$

לכן עבור $x<1$ מתקבל $f''(x)>0$, והפונקציה קמורה בענף השמאלי; עבור $x>1$ מתקבל $f''(x)<0$, והפונקציה קעורה בענף הימני. הנקודה $x=1$ אינה בתחום, ולכן אין נקודת פיתול.

בחיבור הנתונים מתקבלת סקיצה של שני ענפים המופרדים על ידי האסימפטוטה האנכית $x=1$. הענף השמאלי עולה וקמור, מתקרב לאסימפטוטה האנכית כאשר $x$ שואף ל־$1$ משמאל, ומתקרב לאסימפטוטה המשופעת כאשר $x$ שואף למינוס אינסוף. הענף הימני עולה וקעור, מתקרב לאסימפטוטה האנכית כאשר $x$ שואף ל־$1$ מימין, ומתקרב לאסימפטוטה המשופעת כאשר $x$ שואף לאינסוף.