מהירות רגעית ושיפוע משיק

השיעור עוסק במעבר מקצב שינוי ממוצע על פני קטע לקצב שינוי בנקודה אחת. הרעיון המרכזי הוא שהנגזרת מתקבלת כגבול של מנת הפרשים, ולכן היא מודדת את השינוי המיידי של הפונקציה. מתוך כך מתברר גם הקשר בין גזירות, רציפות וקיום משיק לגרף.

קצב שינוי ממוצע ושיפוע מיתר

כאשר פונקציה $f$ מתארת גודל התלוי במשתנה $x$, השאלה הראשונה היא כיצד משתנה ערך הפונקציה כאשר המשתנה עובר מערך אחד לאחר. עבור שתי נקודות $x_1$ ו-$x_2$ בתחום ההגדרה, קצב שינוי ממוצע של $f$ בקטע $[x_1,x_2]$ הוא המנה

$$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}.$$

מנה זו היא שיפוע הישר העובר דרך שתי הנקודות $(x_1,f(x_1))$ ו-$(x_2,f(x_2))$ על הגרף. ישר זה נקרא מיתר של הגרף בין שתי הנקודות.

יש לשים לב ליחידות המנה. אם $f(x)$ נמדד במטרים ו-$x$ נמדד בשניות, קצב השינוי הממוצע נמדד במטרים לשנייה. אם $f$ מתארת עלות ותלוי בכמות, קצב השינוי הממוצע נמדד בעלות ליחידת כמות. לכן המנה אינה רק מספר, אלא גודל בעל משמעות פיזיקלית או כלכלית בהתאם להקשר.

קצב שינוי ממוצע אינו מתאר את כל ההתנהגות בתוך הקטע. הוא תלוי רק בערכי הפונקציה בשני קצוות הקטע, ולכן שתי פונקציות שונות יכולות להתנהג באופן שונה מאוד בתוך הקטע ועדיין לתת אותו קצב שינוי ממוצע. כמו כן, אם המנה חיובית הפונקציה עולה בממוצע בקטע, ואם המנה שלילית הפונקציה יורדת בממוצע בקטע.

דוגמה: עבור $f(x)=x^2$ בקטע $[1,3]$, מתקבל

$$\frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{9-1}{2}=4.$$

כלומר, כאשר $x$ גדל מ-1 ל-3, ערך הפונקציה גדל בממוצע ב-4 יחידות על כל יחידה אחת של $x$.

מהירות רגעית כגבול של מהירויות ממוצעות

מהירות ממוצעת מתארת שינוי על פני פרק זמן, אך לעיתים נדרש לתאר את קצב התנועה ברגע אחד. כדי לעבור ממהירות ממוצעת למהירות רגעית, מצמצמים את פרק הזמן שבו מחשבים את הממוצע. ככל שהפרק קטן יותר, הממוצע מתאר טוב יותר את ההתנהגות המקומית סביב הרגע הנבחר.

עבור רגע קבוע $t_0$ ותוספת זמן $h$, המהירות הממוצעת בין $t_0$ ל-$t_0+h$ היא

$$\frac{s(t_0+h)-s(t_0)}{h}.$$

כאן $h$ יכול להיות חיובי או שלילי, ובלבד שהנקודות נמצאות בתחום ההגדרה. אם המנה שואפת לאותו גבול כאשר $h$ שואף לאפס משני הכיוונים, הגבול הוא המהירות הרגעית בזמן $t_0$:

$$v(t_0)=\lim_{h\to 0}\frac{s(t_0+h)-s(t_0)}{h}.$$

דוגמה: נניח שמיקום של חלקיק נתון על ידי $s(t)=t^2$, ביחידות מתאימות. נחשב את המהירות הרגעית בזמן $t_0=2$:

$$\frac{s(2+h)-s(2)}{h}=\frac{(2+h)^2-4}{h}=\frac{4+4h+h^2-4}{h}=4+h.$$

כאשר $h\to 0$, הביטוי שואף ל-4. לכן $v(2)=4$. המשמעות היא שבאותו רגע, קצב שינוי המיקום הוא 4 יחידות מרחק ליחידת זמן.

הנגזרת כמנה גבולית

הרעיון של מהירות רגעית אינו תלוי בבעיות תנועה. עבור פונקציה כללית $f$, קצב השינוי הרגעי בנקודה $x_0$ מוגדר באותו אופן, כל עוד הגבול קיים וסופי. הנגזרת של $f$ בנקודה $x_0$ היא

$$f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.$$

צורה שקולה, כאשר $x$ שואף ל-$x_0$, היא

$$f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

המנה בתוך הגבול נקראת מנת הפרשים של הפונקציה בין $x_0$ לנקודה קרובה. היא מודדת את יחס השינוי בערכי הפונקציה לשינוי בערכי המשתנה. כאשר הגבול קיים וסופי, אומרים ש-$f$ גזירה בנקודה $x_0$. אם הגבול אינו קיים, או שהוא אינסופי, הפונקציה אינה גזירה בנקודה זו במובן הרגיל.

נהוג לסמן את הנגזרת בנקודה גם כ-$\frac{dy}{dx}$ כאשר $y=f(x)$. הסימון מדגיש שמדובר ביחס בין שינוי קטן בערך הפונקציה לשינוי קטן בערך המשתנה. אם הפונקציה גזירה בכל נקודה של תחום מסוים, אפשר להגדיר פונקציית נגזרת $f'$, המתאימה לכל $x$ בתחום את ערך הנגזרת בנקודה זו.

דוגמה: עבור $f(x)=x^2$ ונקודה כללית $x_0=a$,

$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{(a+h)^2-a^2}{h}=\frac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h}=2a+h.$$

לכן

$$f'(a)=\lim_{h\to 0}(2a+h)=2a.$$

בפרט, בנקודה $x=3$ מתקבל $f'(3)=6$.

שיפוע המשיק ומשוואת המשיק

מבחינה גיאומטרית, הנגזרת בנקודה היא שיפוע המשיק לגרף הפונקציה באותה נקודה. משיק לגרף של $f$ בנקודה $(x_0,f(x_0))$ הוא הישר שעובר דרך הנקודה ושיפועו הוא הגבול של שיפועי המיתרים כאשר הנקודה השנייה מתקרבת ל-$x_0$. במילים אחרות, המשיק הוא הגבול הגיאומטרי של המיתרים, ולא בהכרח ישר שחותך את הגרף בנקודה אחת בלבד.

אם $f$ גזירה ב-$x_0$, משוואת המשיק היא

$$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).$$

ישר זה מהווה קירוב ליניארי של הפונקציה בסביבה קטנה של $x_0$. עבור תוספת קטנה $\Delta x$,

$$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\approx f'(x_0)\Delta x.$$

ככל שהפונקציה גזירה בנקודה, השגיאה של קירוב זה קטנה ביחס ל-$\Delta x$ כאשר $\Delta x$ שואף לאפס.

דוגמה: עבור $f(x)=x^2$ בנקודה $x_0=3$, מתקבל $f(3)=9$ ו-$f'(3)=6$. לכן משוואת המשיק היא

$$y=9+6(x-3)=6x-9.$$

אם $x=3.1$, הקירוב הליניארי נותן

$$y\approx 9+6(0.1)=9.6,$$

בעוד שהערך המדויק הוא $f(3.1)=3.1^2=9.61$.

קשר בין גזירות, רציפות ומשיק

גזירות בנקודה מחייבת רציפות באותה נקודה. אם $f$ גזירה ב-$x_0$, אז

$$\lim_{x\to x_0}(f(x)-f(x_0))= \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\cdot(x-x_0)= f'(x_0)\cdot 0=0.$$

לכן $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$, כלומר הפונקציה רציפה ב-$x_0$. מכאן נובע גם שפונקציה שאינה רציפה בנקודה אינה יכולה להיות גזירה בה.

הכיוון ההפוך אינו נכון: רציפות בנקודה אינה מבטיחה גזירות. דוגמה מרכזית היא $f(x)=|x|$ בנקודה $x=0$. הפונקציה רציפה ב-0, כי $\lim_{x\to 0}|x|=0=f(0)$. אבל מנת ההפרשים ב-0 היא

$$\frac{|h|-0}{h}=\frac{|h|}{h}.$$

עבור $h>0$ המנה שווה ל-1, ועבור $h<0$ היא שווה ל-$1-$. לכן הגבול הדו-צדדי אינו קיים, והפונקציה אינה גזירה ב-0.

מבחינה גיאומטרית, בגרף $f(x)=|x|$ יש בנקודה $(0,0)$ פינה. מימין לראשית שיפוע הענף הוא 1, ומשמאל הוא $1-$. מכיוון שהמיתרים המתקרבים לנקודה משני הצדדים שואפים לשיפועים שונים, אין שיפוע יחיד שאליו מתכנסים המיתרים, ולכן אין משיק יחיד עם שיפוע סופי בנקודה זו.

לעיתים קיים משיק אנכי, אך הפונקציה עדיין אינה גזירה במובן הרגיל. למשל, עבור $f(x)=\sqrt[3]{x}$ בנקודה $x=0$,

$$\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{\sqrt[3]{h}}{h}=h^{-2/3},$$

והביטוי שואף לאינסוף כאשר $h\to 0$. לכן אין נגזרת סופית, אף שהגרף רציף ויש לו משיק אנכי בראשית. במקרה כזה, הקשר הגיאומטרי בין משיק לגזירות דורש הבחנה בין שיפוע סופי לבין שיפוע אנכי.