מספרים, קטעים ואי־שוויונים

שיעור זה מניח את הבסיס לעבודה אנליטית עם מספרים ממשיים ועם תיאור של תחומים על ציר המספר. הרעיון המרכזי הוא שכל אי־שוויון מגדיר קבוצה של מספרים, ואת הקבוצה הזאת אפשר לתאר בסימון קטעים, בפתרון אלגברי או בייצוג גרפי. מעבר נכון בין שלושת הייצוגים האלה הוא כלי מרכזי בהמשך הקורס.

הישר הממשי וסימון קטעים

הישר הממשי הוא ציר אינסופי שבו לכל מספר ממשי מתאימה נקודה אחת, ולכל נקודה על הציר מתאים מספר ממשי אחד. ההתאמה הזאת מאפשרת להשוות מספרים לפי מיקומם: מספר הנמצא ימינה ממספר אחר גדול ממנו. לכן הסימן $x2\}$ נקרא "קבוצת כל ה־$x$ המקיימים $x>2$". כאשר התנאי מורכב מכמה דרישות, אפשר לכתוב אותן בעזרת "וגם" או "או", ולתרגם אותן בהמשך לסימון של קטעים, קרניים או איחודים.

קטע הוא חלק של הישר הממשי הנמצא בין שני מספרי קצה $a$ ו־$b$, כאשר $aa$ |

בקטעים אינסופיים, $\infty$ אינו מספר אלא סימון לכיוון שבו הציר נמשך ללא גבול. לכן ליד $\infty$ תמיד יופיע סוגר עגול. למשל, $(-\infty,3]$ מתאר את כל המספרים הקטנים או שווים ל־3, ו־$(2,\infty)$ מתאר את כל המספרים הגדולים מ־2. באופן דומה, $(-\infty,\infty)$ מתאר את כל הישר הממשי.

אם $a=b$, הסימון $[a,a]$ מתאר את הקבוצה החד־נקודתית $\{a\}$, ואילו $(a,a)$ מתאר את הקבוצה הריקה. כאשר $a>b$, הסימון אינו מתאר קטע תקין, ולכן יש להקפיד שסדר הקצוות יהיה $a-1$ וגם $x<4$" ייכתב כקטע הפתוח $(-1,4)$.

פתרון אי־שוויונים ליניאריים וריבועיים

אי־שוויון אלגברי הוא טענה המשווה בין שני ביטויים באמצעות אחד הסימנים $<$, $>$, $\le$, $\ge$. פתרון אי־שוויון הוא מציאת כל הערכים של הנעלם שעבורם הטענה נכונה. פעולות מסוימות שומרות על קבוצת הפתרונות: אפשר להוסיף או לחסר את אותו ביטוי משני האגפים, ואפשר לכפול או לחלק את שני האגפים באותו מספר חיובי. לעומת זאת, כפל או חילוק במספר שלילי מחייבים היפוך של כיוון האי־שוויון.

דוגמה ליניארית: נפתור $3x-7\le 2x+1$. נחסר $2x$ משני האגפים ונקבל $x-7\le 1$. נוסיף $7$ לשני האגפים ונקבל $x\le 8$. לכן קבוצת הפתרונות היא $(-\infty,8]$.

דוגמה עם היפוך כיוון: $4-2x>10$. נחסר $4$ משני האגפים: $-2x>6$. נחלק ב־$-2$ ונהפוך את הסימן: $x<-3$. הפתרון הוא $(-\infty,-3)$.

באי־שוויון ריבועי נוח לעבוד לפי סדר קבוע: מעבירים את כל האיברים לאגף אחד, מוצאים את שורשי הביטוי הריבועי באמצעות פירוק לגורמים או נוסחת השורשים, מחלקים את ציר המספרים לתחומים לפי השורשים, ובודקים את סימן הביטוי בכל תחום. אם הביטוי מופיע בצורה $ax^2+bx+c$ עם $a>0$, הגרף הוא פרבולה הפונה כלפי מעלה, ולכן הביטוי שלילי בין השורשים וחיובי מחוצה להם, כאשר הוא קיים.

דוגמה: נפתור $x^2-x-6\ge 0$. נפרק לגורמים: $(x-3)(x+2)\ge 0$. השורשים הם $x=-2$ ו־$x=3$. הם מחלקים את הציר לשלושה תחומים: $(-\infty,-2)$, $(-2,3)$, $(3,\infty)$. הפרבולה פונה כלפי מעלה, ולכן הביטוי חיובי מחוץ לשורשים ושלילי ביניהם. מכיוון שהאי־שוויון הוא $\ge$, נכללים גם השורשים עצמם. לכן הפתרון הוא $(-\infty,-2]\cup[3,\infty)$.

אם האי־שוויון היה $x^2-x-6<0$, היינו מקבלים את התחום שבו הביטוי שלילי בלבד: $(-2,3)$. ההבדל בין $\le$ ל־$<$ מתבטא רק בהכללת נקודות הקצה, אך הוא משנה את סימון הקטע.

כאשר לביטוי הריבועי אין שורשים ממשיים, הסימן שלו קבוע בכל הציר. אם $a>0$ והדיסקרימיננטה שלילית, הביטוי חיובי לכל $x$; לכן $ax^2+bx+c>0$ מתקיים לכל $x$, ואילו $ax^2+bx+c<0$ אינו מתקיים לאף $x$. אם $a<0$, המצב הפוך: הביטוי שלילי לכל $x$.

באי־שוויונים הכוללים שבר, כגון $\frac{p(x)}{q(x)}>0$, אין להכפיל במכנה לפני שבודקים את סימנו. דרך מסודרת היא להעביר את כל האיברים לאגף אחד, למצוא נקודות איפוס של המונה ושל המכנה, ולסמן את התחומים שבהם הביטוי חיובי או שלילי. יש לזכור שהמכנה אינו יכול להתאפס, ולכן נקודות שבהן $q(x)=0$ אינן יכולות להיכלל בקבוצת הפתרונות.

אי־שוויונים עם ערך מוחלט

הערך המוחלט של מספר, $|x|$, הוא המרחק של $x$ מ־0 על הישר הממשי. לכן $|x|$ תמיד אינו שלילי, והשוואה שלו למספר חיובי מתארת תחום של מרחקים. עבור $c>0$ מתקיימים שני הכללים הבאים:

• $|f(x)|c$ שקול ל־$f(x)<-c$ או $f(x)>c$.

כאשר מופיעים $\le$ או $\ge$, הכללים דומים, אך יש להקפיד על הכללת הקצוות בהתאם לסימן. את הכללים האלה אפשר להבין ישירות מהגדרת המרחק: $|x|r$ מתאר את הנקודות שמרחקן מ־$a$ גדול מ־$r$, כלומר את האיחוד $(-\infty,a-r)\cup(a+r,\infty)$. לדוגמה, $|x-4|\le 1$ מתאר את הנקודות שמרחקן מ־4 אינו עולה על 1, ולכן הפתרון הוא $[3,5]$.

דוגמה אלגברית ראשונה: נפתור $|2x-3|\le 5$. לפי הכלל, נכתוב $-5\le 2x-3\le 5$. נוסיף $3$ לכל שלושת האגפים: $-2\le 2x\le 8$. נחלק ב־$2$: $-1\le x\le 4$. לכן קבוצת הפתרונות היא $[-1,4]$.

דוגמה אלגברית שנייה: נפתור $|x+1|>3$. האי־שוויון מתפצל לשני מקרים: $x+1<-3$ או $x+1>3$. מהראשון נקבל $x<-4$, ומהשני נקבל $x>2$. לכן הפתרון הוא $(-\infty,-4)\cup(2,\infty)$.

מקרים שבהם $c$ אינו חיובי דורשים תשומת לב מיוחדת. אם $c=0$, האי־שוויון $|f(x)|\le 0$ גורר $f(x)=0$, ואילו $|f(x)|<0$ אינו אפשרי משום שערך מוחלט אינו שלילי. אם $c<0$, האי־שוויון $|f(x)|>c$ מתקיים לכל $x$ ממשי, משום שכל ערך מוחלט גדול ממספר שלילי.

כאשר הערך המוחלט מופיע עם ביטוי מורכב יותר, לעיתים נדרש לפצל לתחומים לפי נקודות שבהן הביטוי שבתוך הערך המוחלט מתאפס. עם זאת, במקרים מהצורה $|ax+b|c$ עם $c>0$, המעבר לאי־שוויון כפול או לפיצול לשני אי־שוויונים פשוטים הוא בדרך כלל הדרך הקצרה והבטוחה.

תיאור גרפי של קבוצת פתרונות

לקבוצת פתרונות של אי־שוויון יש שני ייצוגים גרפיים נפוצים: סימון על ציר המספרים ושרטוט במערכת צירים. בסימון על ציר המספרים, קטע או קרן מודגשים כאשר הם שייכים לפתרון. עיגול ריק מציין שהקצה אינו כלול, ועיגול מלא מציין שהקצה כלול. כך הפתרון $[-1,4]$ יסומן כקטע בין $-1$ ל־$4$ עם עיגולים מלאים בשני הקצוות, והפתרון $(-\infty,-4)\cup(2,\infty)$ יסומן כשתי קרניים עם עיגולים ריקים ב־$-4$ וב־$2$.

כאשר הפתרון הוא איחוד של כמה קטעים, מסמנים כל קטע בנפרד ומקפידים להשאיר רווח בין חלקים שאינם שייכים לפתרון. אם נקודת קצה אינה פתרון, היא אינה מסומנת כעיגול מלא, גם אם התקבלה כנקודת חיתוך של גרפים או כשורש של משוואת עזר.

במערכת צירים, אי־שוויון מהצורה $f(x)<g(x)$ נפתר על ידי השוואת הגרפים של $f$ ושל $g$. נקודות החיתוך של הגרפים הן הערכים שבהם $f(x)=g(x)$, והן משמשות גבולות בין תחומים. התחומים שבהם הגרף של $f$ נמצא מתחת לגרף של $g$ הם פתרון האי־שוויון $f(x)<g(x)$. אם האי־שוויון הוא $\le$, נכללות גם נקודות החיתוך עצמן. לאחר מציאת הגבולות, אפשר לבחור נקודת בדיקה אחת מכל תחום ולבדוק איזה גרף גבוה יותר באותו תחום.

דוגמה: נפתור גרפית את האי־שוויון $|x-1|<2$. נשרטט את הגרף $y=|x-1|$ ואת הישר $y=2$. הגרף $y=|x-1|$ הוא קו בצורת V שקודקודו בנקודה $(1,0)$. הישר $y=2$ חותך אותו כאשר $|x-1|=2$, כלומר ב־$x=-1$ וב־$x=3$. בין שתי נקודות החיתוך, גרף הערך המוחלט נמצא מתחת לישר $y=2$. לכן הפתרון הוא $-1<x<3$, או בקטעים: $(-1,3)$.

הבחירה בין ציר המספרים למערכת צירים תלויה בסוג השאלה: ציר המספרים מתאים לתיאור קבוצת הפתרונות עצמה, ואילו מערכת הצירים מראה כיצד הפתרון נובע מיחס בין שני ביטויים. כאשר יש ספק לגבי קצה או לגבי כיוון האי־שוויון, הצבה של נקודת בדיקה אחת מכל תחום יכולה לאמת את הסימון שהתקבל. לדוגמה, באי־שוויון $2x-1<x+3$, נקודת החיתוך מתקבלת מ־$2x-1=x+3$, כלומר $x=4$. אם נבדוק נקודה משמאל ל־4, למשל $x=0$, נקבל $-1<3$, ולכן כל התחום $x<4$ הוא פתרון. אם נבדוק נקודה מימין ל־4, למשל $x=5$, נקבל $9<8$, כלומר התחום הימני אינו פתרון.