נגזרת פונקציה לוגריתמית – הגדרה והרכבות

בשיעור זה נגזור פונקציות לוגריתמיות מבסיס $e$, כלומר פונקציות שבהן מופיע $\ln$, וכן הרכבות מהצורה $f(x)=\ln(g(x))$ כאשר $g(x)$ פולינום עד מעלה שנייה. הנגזרת של $\ln x$ היא $\frac{1}{x}$, ובהרכבה מכפילים בנגזרת הביטוי הפנימי. לכן נגזרת של $\ln(g(x))$ היא $\frac{g'(x)}{g(x)}$. כלל זה משתלב עם כללי סכום, מכפלה ומנה כאשר הפונקציה כוללת גם פולינום או פונקציה רציונלית.

נגזרת הפונקציה $\ln x$

הפונקציה $\ln x$ היא הפונקציה הלוגריתמית בבסיס $e$, כלומר $\log_e x$. היא מוגדרת רק עבור $x>0$. נגזרתה היא:

$$(\ln x)'=\frac{1}{x}$$

בנקודה שבה $x$ חיובי, שיפוע המשיק לגרף הפונקציה הוא ההופכי של $x$. לדוגמה, בנקודה $x=1$ שיפוע המשיק הוא $1$, ובנקודה $x=2$ שיפוע המשיק הוא $\frac{1}{2}$. הנגזרת חיובית לכל $x>0$, ולכן הפונקציה $\ln x$ עולה בכל תחום הגדרתה. עם זאת, ערכי הנגזרת קטנים ככל ש-$x$ גדל, ולכן הגרף ממשיך לעלות אך השיפוע מתמתן.

נגזרת הרכבה מהצורה $\ln(g(x))$

כאשר בתוך ה-$\ln$ מופיע ביטוי התלוי ב-$x$, הפונקציה היא פונקציה מורכבת: הפונקציה החיצונית היא $\ln$, והפונקציה הפנימית היא $g(x)$. עבור פונקציה מהצורה:

$$f(x)=\ln(g(x))$$

מתקיים:

$$f'(x)=\frac{g'(x)}{g(x)}$$

בתחום שבו $g(x)>0$.

הכלל נובע מכלל השרשרת: גוזרים את הפונקציה החיצונית לפי הביטוי הפנימי, ומכפילים בנגזרת של הביטוי הפנימי. הנגזרת של $\ln u$ היא $\frac{1}{u}$, ולכן מתקבלת נגזרת הפנימית חלקי הפנימית עצמה. בכתיב מקוצר: מתייחסים לביטוי שבתוך ה-$\ln$ כאל יחידה אחת, ואז מכפילים בנגזרת של אותה יחידה.

לדוגמה, עבור:

$$f(x)=\ln(2x+3)$$

הפונקציה הפנימית היא $g(x)=2x+3$, ולכן $g'(x)=2$. מכאן:

$$f'(x)=\frac{2}{2x+3}$$

ותחום ההגדרה הוא $2x+3>0$, כלומר $x>-\frac{3}{2}$.

פולינום עד מעלה שנייה בתוך $\ln$

במיקוד השיעור נכללות הרכבות שבהן $g(x)$ הוא פולינום עד מעלה שנייה. אם:

$$g(x)=ax^2+bx+c$$

אז:

$$g'(x)=2ax+b$$

ולכן עבור:

$$f(x)=\ln(ax^2+bx+c)$$

מתקבל:

$$f'(x)=\frac{2ax+b}{ax^2+bx+c}$$

הנגזרת מוגדרת רק בערכי $x$ שבהם הפונקציה המקורית מוגדרת, כלומר כאשר הביטוי שבתוך ה-$\ln$ חיובי. לכן יש לוודא שמתקיים:

$$ax^2+bx+c>0$$

דוגמה: עבור

$$f(x)=\ln(x^2-4x+7)$$

מתקבל:

$$f'(x)=\frac{2x-4}{x^2-4x+7}$$

במקרה זה הביטוי $x^2-4x+7$ חיובי לכל $x$, משום שניתן לכתוב אותו כך:

$$x^2-4x+7=(x-2)^2+3$$

דוגמה נוספת: עבור

$$f(x)=\ln(3x^2-2x+1)$$

מתקבל:

$$f'(x)=\frac{6x-2}{3x^2-2x+1}$$

סכום והפרש עם פולינום

כאשר הפונקציה היא סכום או הפרש של פונקציה לוגריתמית ופולינום, גוזרים כל מחבר בנפרד לפי כלל הנגזרת של סכום. לדוגמה:

$$f(x)=\ln(x^2+1)+3x$$

המחבר הראשון הוא הרכבה לוגריתמית, והמחבר השני הוא פולינום. נגזרת המחבר הראשון היא:

$$\frac{2x}{x^2+1}$$

ונגזרת $3x$ היא $3$. לכן:

$$f'(x)=\frac{2x}{x^2+1}+3$$

דוגמה עם הפרש:

$$f(x)=x^2-4-\ln(2x+1)$$

הנגזרת של $x^2-4$ היא $2x$, והנגזרת של $\ln(2x+1)$ היא $\frac{2}{2x+1}$. לכן:

$$f'(x)=2x-\frac{2}{2x+1}$$

ותחום ההגדרה הוא $2x+1>0$, כלומר $x>-\frac{1}{2}$.

אם מופיע קבוע כפול בפונקציה לוגריתמית, הקבוע נשאר מחוץ לגזירה. לדוגמה:

$$f(x)=4\ln(x^2-3x+2)$$

ולכן:

$$f'(x)=4\cdot\frac{2x-3}{x^2-3x+2}$$

מכפלה של פולינום בפונקציה לוגריתמית

כאשר הפונקציה היא מכפלה של שני ביטויים, משתמשים בכלל המכפלה:

$$(u\cdot v)'=u'v+uv'$$

אם אחד הגורמים הוא $\ln(g(x))$, גוזרים אותו לפי כלל השרשרת. במכפלה אין חשיבות לסדר הגורמים, אך לעיתים נוח לבחור את הפולינום כ-$u$ ואת הפונקציה הלוגריתמית כ-$v$.

דוגמה:

$$f(x)=x\ln(x^2+1)$$

נסמן $u=x$, $v=\ln(x^2+1)$. אז $u'=1$, וגם:

$$v'=\frac{2x}{x^2+1}$$

לכן:

$$f'(x)=1\cdot\ln(x^2+1)+x\cdot\frac{2x}{x^2+1}$$

כלומר:

$$f'(x)=\ln(x^2+1)+\frac{2x^2}{x^2+1}$$

דוגמה נוספת:

$$f(x)=(x^2+2)\ln x$$

כאן $u=x^2+2$, $v=\ln x$. לכן $u'=2x$, $v'=\frac{1}{x}$, ולפי כלל המכפלה:

$$f'(x)=2x\ln x+\frac{x^2+2}{x}$$

אפשר להשאיר את הביטוי בצורה זו, או לפשט את השבר:

$$f'(x)=2x\ln x+x+\frac{2}{x}$$

תחום ההגדרה הוא $x>0$.

מנה שבה מופיעה פונקציה לוגריתמית

כאשר הפונקציה היא מנה, משתמשים בכלל המנה:

$$\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$$

זהו תחילה את המונה ואת המכנה, וגזרו כל אחד מהם בנפרד. אם המכנה עצמו כולל $\ln$, גזרו גם אותו לפי כלל השרשרת.

דוגמה שבה הלוגריתם במונה:

$$f(x)=\frac{\ln(x^2+1)}{x+3}$$

המונה הוא $u=\ln(x^2+1)$, ולכן:

$$u'=\frac{2x}{x^2+1}$$

המכנה הוא $v=x+3$, ולכן $v'=1$. לפי כלל המנה:

$$f'(x)=\frac{\frac{2x}{x^2+1}(x+3)-\ln(x^2+1)}{(x+3)^2}$$

דוגמה שבה הלוגריתם במכנה:

$$f(x)=\frac{x}{\ln x}$$

כאן $u=x$, $v=\ln x$. לכן $u'=1$, $v'=\frac{1}{x}$. נקבל:

$$f'(x)=\frac{1\cdot\ln x-x\cdot\frac{1}{x}}{(\ln x)^2}$$

כלומר:

$$f'(x)=\frac{\ln x-1}{(\ln x)^2}$$

שימו לב לתחום ההגדרה: נחוץ $x>0$, וגם $\ln x\ne 0$, כלומר $x\ne 1$, משום שהמכנה אינו יכול להתאפס.

שילוב עם פונקציה רציונלית

פונקציה רציונלית היא מנה של פולינומים. כאשר היא משולבת עם פונקציה לוגריתמית בסכום, בהפרש, במכפלה או במנה, בחרו בכלל המתאים למבנה הפונקציה. אם הביטוי הרציונלי עצמו הוא מנה, אפשר לגזור אותו בעזרת כלל המנה לפני שילובו בכלל נוסף.

דוגמה לסכום עם שבר רציונלי:

$$f(x)=\ln(x^2+1)+\frac{1}{x}$$

החלק הלוגריתמי נגזר לפי כלל השרשרת, והחלק הרציונלי נגזר כפונקציית מנה פשוטה. נקבל:

$$f'(x)=\frac{2x}{x^2+1}-\frac{1}{x^2}$$

בדוגמה זו $\ln(x^2+1)$ מוגדר לכל $x$, אך השבר $\frac{1}{x}$ דורש $x\ne 0$. לכן תחום ההגדרה הוא $x\ne 0$.

דוגמה למכפלה בביטוי רציונלי:

$$f(x)=\ln x\cdot\frac{1}{x^2}$$

נסמן $u=\ln x$, $v=\frac{1}{x^2}$. אז $u'=\frac{1}{x}$, וגם $v'=-\frac{2}{x^3}$. לפי כלל המכפלה:

$$f'(x)=\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{x^2}+\ln x\cdot\left(-\frac{2}{x^3}\right)$$

ולכן:

$$f'(x)=\frac{1}{x^3}-\frac{2\ln x}{x^3}$$

או בצורה מרוכזת:

$$f'(x)=\frac{1-2\ln x}{x^3}$$

תחום ההגדרה הוא $x>0$.

פונקציה הכוללת כמה כללים

לעתים פונקציה אחת דורשת שימוש ביותר מכלל אחד. במקרה כזה פרקו אותה לחלקים, גזרו כל חלק לפי המבנה שלו, וחברו לפי כלל הסכום.

דוגמה:

$$f(x)=x^2\ln(x^2+1)+\frac{1}{x-2}$$

החלק הראשון הוא מכפלה של פולינום בפונקציה לוגריתמית מורכבת, ולכן נגזור אותו לפי כלל המכפלה וכלל השרשרת. נסמן $u=x^2$, $v=\ln(x^2+1)$. אז $u'=2x$, וגם:

$$v'=\frac{2x}{x^2+1}$$

לכן נגזרת החלק הראשון היא:

$$2x\ln(x^2+1)+x^2\cdot\frac{2x}{x^2+1}$$

החלק השני הוא פונקציה רציונלית פשוטה, ונגזרתו היא:

$$-\frac{1}{(x-2)^2}$$

לכן:

$$f'(x)=2x\ln(x^2+1)+\frac{2x^3}{x^2+1}-\frac{1}{(x-2)^2}$$

תחום ההגדרה נקבע לפי כל החלקים: ה-$\ln$ דורש $x^2+1>0$, וזה מתקיים לכל $x$; השבר דורש $x\ne 2$. לכן תחום ההגדרה הוא $x\ne 2$.