נגזרת פונקציה מעריכית – הגדרה והרכבות

בשיעור זה נכיר את המספר $e$ ואת הפונקציה המעריכית הטבעית, שנגזרתה שווה לעצמה. נלמד לגזור פונקציות מהצורה $e^{g(x)}$ ולשלב אותן עם פולינומים ועם ביטויים רציונליים באמצעות כללי הסכום, המכפלה, המנה והשרשרת.

המספר e והפונקציה המעריכית הטבעית

המספר $e$ הוא קבוע מתמטי שמופיע באופן טבעי בתהליכי גדילה ודעיכה ובחשבון דיפרנציאלי. אפשר להגדיר אותו באמצעות הגבול:

$e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$

ערכו בקירוב $2.71828$, והוא אינו רציונלי, כלומר אי אפשר להציג אותו כשבר של שני מספרים שלמים.

הפונקציה $f(x)=e^x$ נקראת הפונקציה המעריכית הטבעית. תחום ההגדרה שלה הוא כל המספרים הממשיים, ערכיה חיוביים לכל $x$, והיא רציפה וגזירה לכל $x$. בנקודה $(0,1)$ שיפוע המשיק לגרף הוא בדיוק $1$. תכונה זו מבדילה את הבסיס $e$ משאר בסיסים מעריכיים, והיא הבסיס לנוסחת הנגזרת הפשוטה של הפונקציה.

נגזרת הפונקציה e^x

הנגזרת של הפונקציה $e^x$ היא הפונקציה עצמה:

$(e^x)'=e^x$

בכל נקודה על הגרף, קצב השינוי של הפונקציה שווה לערכה באותה נקודה. לכן ככל שהערך גדול יותר, גם קצב הגדילה גדול יותר.

אם הפונקציה מוכפלת בקבוע, הקבוע נשאר כגורם גם בנגזרת. לדוגמה:

• אם $f(x)=5e^x$, אז $f'(x)=5e^x$.
• אם $f(x)=-2e^x$, אז $f'(x)=-2e^x$.

בשלב זה אין צורך בכלל מכפלה או בכלל שרשרת: מדובר בפונקציה מעריכית פשוטה עם המשתנה $x$ במעריך.

נגזרת פונקציה מורכבת מהצורה $e^{g(x)}$

פונקציה מורכבת היא פונקציה שבה מחשבים תחילה ביטוי פנימי, ורק לאחר מכן מפעילים עליו פונקציה חיצונית. בפונקציה מהצורה $f(x)=e^{g(x)}$, הביטוי הפנימי הוא $g(x)$, והפונקציה החיצונית היא $e^u$, כלומר העלאה של $e$ בחזקת הביטוי הפנימי.

כדי לגזור פונקציה כזו משתמשים בכלל השרשרת. הכלל קובע שנגזרת של פונקציה מורכבת היא נגזרת הפונקציה החיצונית לפי המשתנה הפנימי, כפול נגזרת הפונקציה הפנימית. מכיוון שהנגזרת של $e^u$ היא $e^u$, מתקבלת הנוסחה:

$(e^{g(x)})'=e^{g(x)}\cdot g'(x)$

כלומר, שומרים על הפונקציה המקורית $e^{g(x)}$ ומכפילים אותה בנגזרת של המעריך $g(x)$.

שלבי הגזירה הם:

1. גוזרים את המעריך $g(x)$.
2. מכפילים את התוצאה בפונקציה המקורית $e^{g(x)}$.

דוגמאות:

• אם $f(x)=e^{3x}$, אז $g(x)=3x$, ולכן $g'(x)=3$. מכאן $f'(x)=3e^{3x}$.
• אם $f(x)=e^{x^2}$, אז $g(x)=x^2$, ולכן $g'(x)=2x$. מכאן $f'(x)=2x e^{x^2}$.
• אם $f(x)=e^{-x}$, אז $g(x)=-x$, ולכן $g'(x)=-1$. מכאן $f'(x)=-e^{-x}$.
• אם $f(x)=e^{2x^2-5x}$, אז $g'(x)=4x-5$, ולכן $f'(x)=(4x-5)e^{2x^2-5x}$.

בשיעור זה עוסקים בפונקציות מורכבות שבהן $g(x)$ הוא פולינום, ולכן הגזירה מתבצעת בשני שלבים: גזירת הפולינום שבמעריך, ולאחר מכן הכפלה בפונקציה המעריכית.

סכום והפרש עם פונקציות פולינומיות

כאשר הפונקציה בנויה כסכום או כהפרש של איברים, גוזרים כל איבר בנפרד. כלל זה נכון גם כאשר חלק מהאיברים מעריכיים וחלקם פולינומיים.

לדוגמה:

• אם $f(x)=e^x+x^2$, אז $f'(x)=e^x+2x$.
• אם $f(x)=3e^x-4x^3$, אז $f'(x)=3e^x-12x^2$.
• אם $f(x)=x^4-e^{2x}$, אז $f'(x)=4x^3-2e^{2x}$.

בדוגמה האחרונה האיבר $e^{2x}$ הוא פונקציה מורכבת, ולכן בגזירתו משתמשים בכלל השרשרת: הנגזרת היא $2e^{2x}$.

מכפלה של פולינום בפונקציה מעריכית

כאשר פונקציה מעריכית מוכפלת בפולינום, יש להשתמש בכלל המכפלה. אם $f(x)=u(x)\cdot v(x)$, אז:

$f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$

לדוגמה, אם $f(x)=x e^x$, נסמן $u=x$ ו-$v=e^x$. אז $u'=1$ ו-$v'=e^x$, ולכן:

$f'(x)=1\cdot e^x+x\cdot e^x=(1+x)e^x$

אם הפונקציה המעריכית היא מהצורה $e^{g(x)}$, יש לגזור אותה בעזרת כלל השרשרת גם בתוך כלל המכפלה. לדוגמה:

$f(x)=x^2 e^{3x}$

נסמן $u=x^2$ ו-$v=e^{3x}$. אז $u'=2x$ ו-$v'=3e^{3x}$. לכן:

$f'(x)=2x e^{3x}+x^2\cdot 3e^{3x}=e^{3x}(2x+3x^2)$

במקרים כאלה כדאי להוציא גורם משותף כדי לפשט את הנגזרת, אך הפישוט אינו חובה אם השאלה אינה דורשת אותו.

מנה עם פונקציה מעריכית

פונקציה רציונלית היא מנה של שני ביטויים. כאשר אחד הביטויים כולל פונקציה מעריכית, משתמשים בכלל המנה:

$\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

יש להקפיד על סדר האיברים במונה: נגזרת המונה כפול המכנה, פחות המונה כפול נגזרת המכנה.

דוגמה א': $f(x)=\frac{e^x}{x}$

כאן $u=e^x$, $v=x$, ולכן $u'=e^x$, $v'=1$. מכאן:

$f'(x)=\frac{e^x\cdot x-e^x\cdot 1}{x^2}=\frac{e^x(x-1)}{x^2}$

הפונקציה מוגדרת רק עבור $x\neq 0$, משום שהמכנה מתאפס בנקודה זו.

דוגמה ב': $f(x)=\frac{x}{e^x}$

כאן $u=x$, $v=e^x$, ולכן $u'=1$, $v'=e^x$. מכאן:

$f'(x)=\frac{1\cdot e^x-x\cdot e^x}{(e^x)^2}=\frac{e^x(1-x)}{e^{2x}}=\frac{1-x}{e^x}$

בדוגמה זו אפשר לצמצם ב-$e^x$, מכיוון ש-$e^x$ חיובי ואינו מתאפס לאף $x$.

שילוב של הרכבה עם מכפלה או מנה

בביטויים מורכבים יותר יש לזהות תחילה את המבנה החיצוני של הפונקציה: האם היא סכום, מכפלה, מנה או הרכבה. לאחר מכן גוזרים כל רכיב לפי הכלל המתאים לו. אם אחד הרכיבים הוא מהצורה $e^{g(x)}$, גוזרים אותו לפי כלל השרשרת.

דוגמה למכפלה עם הרכבה:

$f(x)=(x+1)e^{2x}$

נסמן $u=x+1$ ו-$v=e^{2x}$. אז $u'=1$ ו-$v'=2e^{2x}$. לכן:

$f'(x)=1\cdot e^{2x}+(x+1)\cdot 2e^{2x}=e^{2x}(1+2x+2)=e^{2x}(2x+3)$

דוגמה למנה עם הרכבה:

$f(x)=\frac{e^{x^2}}{x+1}$

נסמן $u=e^{x^2}$ ו-$v=x+1$. אז $u'=2x e^{x^2}$ ו-$v'=1$. לכן:

$f'(x)=\frac{2x e^{x^2}(x+1)-e^{x^2}\cdot 1}{(x+1)^2}=\frac{e^{x^2}(2x(x+1)-1)}{(x+1)^2}$

במקרים כאלה חשוב לזהות שהנגזרת של המונה אינה פשוט $e^{x^2}$, אלא $2x e^{x^2}$, משום שהמעריך הוא פולינום ולא רק $x$.

סדר פעולות לזיהוי מבנה הפונקציה

לפני הגזירה יש לבחון את צורת הפונקציה ולהחליט איזה כלל נדרש:

• אם הפונקציה היא סכום או הפרש של איברים, גוזרים כל איבר בנפרד.
• אם הפונקציה היא מכפלה של שני גורמים, משתמשים בכלל המכפלה.
• אם הפונקציה היא מנה של שני ביטויים, משתמשים בכלל המנה.
• אם הפונקציה היא מהצורה $e^{g(x)}$, משתמשים בכלל השרשרת: מכפילים את $e^{g(x)}$ ב-$g'(x)$.
• אם הפונקציה משלבת כמה מבנים, מבצעים תחילה את הכלל של המבנה החיצוני, ובכל רכיב מעריכי גוזרים לפי כלל השרשרת.

זיהוי נכון של המבנה מונע טעויות נפוצות, כמו גזירת המעריך בלבד ללא הכפלה בפונקציה המקורית, או שימוש בכלל מכפלה כאשר הפונקציה היא למעשה סכום.