סטטיסטיקה – חישוב סטיית תקן והשפעת שינויים

בשיעור זה עוסקים בסטיית התקן ובדרך שבה שינויים בנתונים משפיעים על הממוצע ועל מדד הפיזור. הרעיון המרכזי הוא שסטיית התקן מתארת את מידת הפיזור של הנתונים סביב הממוצע, ולכן כל דיון בשינוי נתונים צריך להתחיל בבחינת המרחקים בין הנתונים לבין הממוצע.

משמעות סטיית התקן כמדד פיזור

סטיית תקן היא מדד פיזור כמותי המראה עד כמה הנתונים בקבוצה מפוזרים סביב הממוצע. כאשר סטיית התקן גדולה, הנתונים רחוקים יחסית מהממוצע והקבוצה מגוונת יותר. כאשר סטיית התקן קטנה, הנתונים מקובצים קרוב לממוצע והקבוצה אחידה יותר.

החישוב מתבסס על סטיות של הנתונים מהממוצע. הסטייה של נתון היא ההפרש בינו לבין הממוצע. כדי שסטיות לכיוונים שונים לא יבטלו זו את זו, מעלים את הסטיות בריבוע, מחשבים את ממוצע ריבועי הסטיות, ולבסוף מוציאים שורש ריבועי. ממוצע ריבועי הסטיות נקרא שונות, וסטיית התקן היא השורש הריבועי של השונות.

סטיית התקן נמדדת באותן יחידות כמו הנתונים עצמם. לכן אפשר להשתמש בה כדי לתאר פיזור של ציונים, הוצאות, שעות התנדבות או כל משתנה כמותי אחר. אם כל הנתונים שווים זה לזה, כל הסטיות מהממוצע הן אפס, ולכן סטיית התקן היא אפס.

חישוב סטיית תקן לפי נוסחה

כדי לחשב סטיית תקן באופן ידני, פועלים לפי סדר פעולות קבוע:

1. מחשבים את ממוצע הנתונים.
2. מחשבים את הסטייה של כל נתון: מפחיתים את הממוצע מערך הנתון.
3. מעלים כל סטייה בריבוע.
4. מסכמים את כל ריבועי הסטיות.
5. מחלקים את הסכום במספר הנתונים.
6. מוציאים שורש ריבועי לתוצאה.

בניסוח מקוצר: סטיית התקן היא השורש הריבועי של סכום ריבועי הסטיות מהממוצע, מחולק במספר הנתונים.

כאשר הנתונים מוצגים בטבלת שכיחויות, אין צורך לכתוב כל נתון בנפרד. מחשבים את הסטייה של כל ערך מהממוצע, מעלים אותה בריבוע, ומכפילים את הריבוע בשכיחות של אותו ערך. לאחר מכן מסכמים את כל התוצאות ומחלקים במספר הנתונים הכולל. באופן דומה, אם הנתונים מופיעים בדיאגרמת עמודות או בדיאגרמת עיגול, יש תחילה להפיק מהן את הערכים ואת השכיחויות שלהם.

חישוב בעזרת מחשבון וגיליון אלקטרוני

בחישובים סטטיסטיים נהוג להשתמש במחשבון או בגיליון אלקטרוני, במיוחד כאשר מספר הנתונים גדול. במחשבון סטטיסטי מכניסים את הנתונים למצב סטטיסטי, ולאחר מכן מקבלים את הממוצע ואת סטיית התקן. חשוב לוודא שהמחשבון מכוון לחישוב המתאים לסוג הנתונים: חישוב עבור כלל הנתונים או חישוב עבור מדגם.

בגיליון אלקטרוני אפשר להכניס את הנתונים בעמודה אחת ולהשתמש בפונקציות ממוצע וסטיית תקן. היתרון של גיליון אלקטרוני הוא שהשינוי מתעדכן מיד: אם משנים נתון, מוסיפים נתון או משנים שכיחות, אפשר לראות כיצד משתנים הממוצע וסטיית התקן. גם כאן יש לשים לב לבחירת הפונקציה המתאימה, משום שפונקציות שונות עשויות להתייחס לכלל הנתונים או למדגם בלבד.

השפעת שינוי נתונים על הממוצע

הממוצע הוא סכום הנתונים חלקי מספרם. לכן כל שינוי בערכי הנתונים עשוי לשנות את הסכום, וממילא את הממוצע. אם נתון אחד גדל, סכום הנתונים גדל ולכן הממוצע עולה, אלא אם כן נתון אחר קטן באופן שמאזן את השינוי. אם נתון אחד קטן, הממוצע יורד, אלא אם כן יש שינוי נגדי שמאזן אותו.

כאשר מוסיפים נתון חדש לקבוצה, משווים את הנתון החדש לממוצע הקיים:

• אם הנתון החדש גדול מהממוצע הקיים, הממוצע החדש יגדל.
• אם הנתון החדש קטן מהממוצע הקיים, הממוצע החדש יקטן.
• אם הנתון החדש שווה לממוצע הקיים, הממוצע לא ישתנה.

כאשר מוסיפים כמה נתונים, הדין דומה: בודקים את הממוצע של הנתונים החדשים. אם ממוצע הנתונים החדשים גדול מהממוצע הקיים, הממוצע הכולל יעלה; אם הוא קטן, הממוצע הכולל יירד; אם הוא שווה, הממוצע הכולל לא ישתנה.

השפעת שינוי נתונים על סטיית התקן

סטיית התקן אינה תלויה רק בערכים עצמם, אלא במרחקים שלהם מהממוצע. לכן שינוי שגורם לנתונים להיות דומים יותר זה לזה מקטין בדרך כלל את סטיית התקן, ושינוי שגורם לנתונים להיות קיצוניים יותר מגדיל בדרך כלל את סטיית התקן.

יש להבחין בין כמה סוגי שינויים:

• הוספת קבוע לכל הנתונים: כל נתון גדל באותו שיעור, ולכן גם הממוצע גדל באותו שיעור. המרחקים בין הנתונים לבין הממוצע אינם משתנים, ולכן סטיית התקן אינה משתנה.
• הכפלת כל הנתונים בקבוע חיובי: הממוצע מוכפל באותו קבוע, וגם המרחקים מהממוצע מוכפלים בו. לכן סטיית התקן מוכפלת באותו קבוע.
• החלפת נתון בערך קרוב יותר לממוצע: הפיזור קטן, ולכן סטיית התקן צפויה לקטון.
• החלפת נתון בערך רחוק יותר מהממוצע: הפיזור גדל, ולכן סטיית התקן צפויה לגדול.

הוספת נתונים חדשים

הוספת נתון חדש אינה דומה להחלפת נתון קיים, משום שהיא משנה גם את מספר הנתונים. אם הנתון החדש שווה לממוצע הקיים, הממוצע אינו משתנה. במקרה כזה סטיית התקן קטנה, משום שסכום ריבועי הסטיות אינו גדל, אך מספר הנתונים גדל.

אם הנתון החדש קרוב לממוצע, השפעתו על הפיזור קטנה. במקרים רבים הוספת נתון כזה תקטין את סטיית התקן, משום שהיא מוסיפה נתון שאינו חורג מהקבוצה. אם הנתון החדש רחוק מהממוצע, הוא מוסיף סטייה גדולה יחסית, ולכן סטיית התקן צפויה לגדול. ככל שהנתון החדש רחוק יותר מהממוצע, השפעתו על מדד הפיזור חזקה יותר.

כאשר מוסיפים כמה נתונים, יש לבחון לא רק כל נתון בפני עצמו אלא את מיקומם המשותף ביחס להתפלגות הקיימת. אם הנתונים החדשים מרוכזים סביב הממוצע, הם נוטים להקטין את הפיזור. אם הם מתפזרים גם בקצוות רחוקים, הם נוטים להגדיל את הפיזור.

שינוי שכיחויות

שינוי שכיחות של ערך מסוים הוא שינוי במשקל שיש לערך זה בקבוצה. אם מגדילים את השכיחות של ערכים גבוהים מהממוצע, הממוצע נמשך כלפי מעלה. אם מגדילים את השכיחות של ערכים נמוכים מהממוצע, הממוצע נמשך כלפי מטה. אם השכיחות של ערכים קרובים מאוד לממוצע גדלה, הממוצע כמעט אינו משתנה.

גם על סטיית התקן משפיע שינוי השכיחויות לפי מיקום הערכים:

• אם מגדילים את השכיחות של ערכים הקרובים לממוצע, הנתונים נעשים מקובצים יותר, ולכן סטיית התקן צפויה לקטון.
• אם מגדילים את השכיחות של ערכים רחוקים מהממוצע, הקצוות נעשים כבדים יותר, ולכן סטיית התקן צפויה לגדול.
• אם מקטינים שכיחות של ערכים קיצוניים ומגדילים שכיחות של ערכים מרכזיים, הפיזור קטן.
• אם מקטינים שכיחות של ערכים מרכזיים ומגדילים שכיחות של ערכים קיצוניים, הפיזור גדל.

כאשר השינוי בשכיחויות מתרחש בכמה כיוונים, יש לבחון איזה כיוון דומיננטי: האם נוסף משקל למרכז ההתפלגות או לקצוות שלה.

אומדן ללא חישוב מלא

בחלק מהמקרים אין צורך לבצע חישוב מלא כדי לקבוע אם סטיית התקן גדלה או קטנה. אפשר להשתמש באומדן המבוסס על הבנת הפיזור. לשם כך בודקים אם השינוי מוסיף נתונים רחוקים מהממוצע, מקרב נתונים לממוצע, או משנה את המשקל של חלקים שונים בהתפלגות.

כללים שימושיים לאומדן:

• אם כל הנתונים מוזזים באותו קבוע, סטיית התקן אינה משתנה.
• אם כל הנתונים מוכפלים בקבוע הגדול מ־1, סטיית התקן גדלה.
• אם כל הנתונים מוכפלים בקבוע שבין 0 ל־1, סטיית התקן קטנה.
• אם מתווסף נתון השווה לממוצע, סטיית התקן קטנה.
• אם מתווסף נתון רחוק מאוד מהממוצע, סטיית התקן צפויה לגדול.
• אם שינוי השכיחויות מעביר משקל מהמרכז לקצוות, סטיית התקן צפויה לגדול.
• אם שינוי השכיחויות מעביר משקל מהקצוות למרכז, סטיית התקן צפויה לקטון.

העיקרון המנחה הוא שסטיית התקן מגיבה לשינויים במרחקים מהממוצע. לכן, כאשר הנתונים נעשים מפוזרים יותר, סטיית התקן גדלה; וכאשר הם נעשים דומים יותר זה לזה, סטיית התקן קטנה.