סטטיסטיקה – מדדי מרכז וסטיית תקן

השיעור עוסק בדרכים לתאר קבוצת נתונים כמותית בעזרת מספרים בודדים. הרעיון המרכזי הוא שמדדי המרכז, שהם מספרים המייצגים את הערך הטיפוסי, מתארים את מרכז הנתונים, ואילו סטיית התקן מתארת עד כמה הנתונים מפוזרים סביב ערך זה. שילוב שני הסוגים של המדדים מאפשר לתאר את אופן פריסת הנתונים, כלומר את ההתפלגות, ולהשוות בין קבוצות.

מדדי מרכז: ממוצע, חציון ושכיח

מדדי מרכז הם מספרים שמטרתם לייצג את מרכז הנתונים או את הערך הטיפוסי בקבוצה. שלושת המדדים הנפוצים הם ממוצע, חציון ושכיח.

משתנה כמותי הוא מאפיין שנמדד במספרים, כגון ציון, גובה, מספר שעות או מספר שגיאות. הנתונים שנאספים על משתנה כמותי הם הערכים שבהם עוסק הניתוח הסטטיסטי.

ממוצע מתקבל מחיבור כל הערכים וחלוקה במספרם. לדוגמה, אם נתונים ציונים, הממוצע הוא סכום הציונים חלקי מספר התלמידים. הממוצע מושפע מכל נתון, ולכן ערך קיצוני גבוה או נמוך עשוי למשוך אותו כלפי מעלה או כלפי מטה.

חציון הוא הערך שנמצא באמצע סדרת הנתונים לאחר סידורה בסדר עולה. אם מספר הנתונים אי־זוגי, החציון הוא האיבר האמצעי. אם מספר הנתונים זוגי, החציון הוא הממוצע של שני האיברים האמצעיים. החציון אינו מושפע מערכים קיצוניים בודדים, ולכן הוא שימושי כאשר בנתונים יש ערכים חריגים.

שכיח הוא הערך ששכיחותו בקבוצה גדולה ביותר, כלומר הערך שמופיע יותר פעמים מכל ערך אחר. ייתכן שכיח אחד, ייתכן יותר מאחד, וייתכן מצב שבו אין ערך בולט כשכיח.

שכיחות של ערך היא מספר הפעמים שבהן הערך מופיע בנתונים. כאשר הנתונים מוצגים בטבלה, השכיחות מאפשרת לחשב מדדי מרכז בלי לכתוב את כל הערכים בנפרד.

הצגות מספריות וחזותיות של נתונים

נתונים סטטיסטיים יכולים להופיע במגוון ייצוגים. הייצוגים הנפוצים הם רשימת נתונים, טבלת שכיחויות, דיאגרמת עמודות ודיאגרמת עיגול.

ברשימת נתונים אפשר לחשב את הממוצע ישירות על ידי חיבור וחלוקה. כדי למצוא חציון, יש לסדר את הרשימה מהקטן לגדול ולאתר את המקום האמצעי. כדי למצוא שכיח, יש לבדוק איזה ערך מופיע יותר פעמים.

בטבלת שכיחויות מוצגים ערכי המשתנה ולצדם שכיחותם. כדי לחשב ממוצע מתוך טבלה כזו, מכפילים כל ערך בשכיחות שלו, מחברים את המכפלות ומחלקים בסכום השכיחויות. כדי לאתר חציון, בודקים את מספר הפרטים הכולל ומוצאים את הערך שמיקומו באמצע. השכיח הוא הערך בעל השכיחות הגדולה ביותר.

דיאגרמת עמודות מציגה את השכיחויות באמצעות עמודות מעל ערכי המשתנה. העמודה הגבוהה ביותר מצביעה על השכיח. כדי לחשב ממוצע או חציון, יש להשתמש בערכים ובשכיחויות שהדיאגרמה מייצגת.

דיאגרמת עיגול מציגה את חלוקת הנתונים לחלקים יחסיים. כל עוגה מייצגת שכיחות יחסית של ערך או קבוצת ערכים. אם ידוע מספר הפרטים הכולל, אפשר להמיר את החלקים לשכיחויות ממשיות ולחשב מהן מדדי מרכז.

בחירת מדד המרכז המתאים לנתונים

מדדי המרכז אינם תמיד נותנים תיאור זהה. כאשר הנתונים מאוזנים ואין ערכים קיצוניים, הממוצע והחציון קרובים זה לזה. כאשר יש ערכים קיצוניים, הממוצע נמשך לכיוון הקיצון, ואילו החציון נשאר קרוב לאמצע הנתונים.

לכן יש לבחון את מטרת התיאור. אם רוצים לייצג את סך כל הערכים בחלוקה שווה, הממוצע מתאים. אם רוצים לייצג ערך אמצעי שאינו מושפע מחריגים, החציון מתאים. אם רוצים לתאר את הערך הנפוץ ביותר, השכיח מתאים.

בנתונים שבהם השכיח אינו יחיד או אינו בולט, לעיתים נותנים דגש לממוצע ולחציון יחד.

סטיית תקן כמדד לפיזור הנתונים סביב הממוצע

מדדי מרכז בלבד אינם מתארים את מידת הפיזור של הנתונים. שתי קבוצות יכולות להיות בעלות ממוצע זהה, אך אחת יכולה להיות מקובצת סביב הממוצע והשנייה לפזר ערכים רחוקים ממנו. לשם כך משמשת סטיית התקן.

סטיית התקן היא מדד לפיזור הנתונים סביב הממוצע. היא מבטאת, באופן ממוצע, עד כמה רחוקים ערכי הנתונים מהממוצע. סטיית התקן נמדדת באותן יחידות שבהן נמדד המשתנה עצמו: אם הנתונים הם ציונים, סטיית התקן נמדדת בנקודות ציון; אם הנתונים הם שעות, היא נמדדת בשעות.

כדי להבין את רעיון החישוב, אפשר לתאר את שלביו:

• תחילה מחשבים את ממוצע הנתונים.
• לאחר מכן מחשבים את הסטייה של כל נתון מהממוצע, כלומר את ההפרש בינו לבין הממוצע.
• את הסטיות מעלים בריבוע, כדי שכל הערכים יהיו חיוביים וכדי לתת משקל גדול יותר לסטיות גדולות.
• מחשבים את הממוצע של ריבועי הסטיות.
• לבסוף מוציאים שורש ריבועי, כדי לחזור ליחידות המקוריות של הנתונים.

בכתיב מתמטי, אם הערכים הם x1, x2, …, xn והממוצע שלהם הוא m, סטיית התקן היא השורש הריבועי של ממוצע ריבועי הסטיות מהממוצע. כלומר, מחברים את ריבועי ההפרשים בין כל ערך לבין m, מחלקים במספר הנתונים ומוציאים שורש.

אם כל הנתונים שווים זה לזה, אין פיזור כלל וסטיית התקן היא 0. ככל שהנתונים רחוקים יותר מהממוצע ומפוזרים יותר, סטיית התקן גדולה יותר.

הומוגניות והטרוגניות בהתפלגות נתונים

התפלגות היא האופן שבו ערכי המשתנה פרושים על פני קבוצת הנתונים. כאשר מדברים על פיזור, נהוג לתאר התפלגות כהומוגנית או כהטרוגנית.

התפלגות הומוגנית היא התפלגות שבה הערכים דומים זה לזה ומקובצים סביב הממוצע. במצב כזה סטיית התקן קטנה יחסית, והממוצע מייצג היטב את רוב הנתונים.

התפלגות הטרוגנית היא התפלגות שבה הערכים מגוונים ורחוקים זה מזה. במצב כזה סטיית התקן גדולה יחסית, והממוצע לבדו עשוי שלא לתאר היטב את השונות בין הפרטים.

דוגמה פשוטה ממחישה זאת. שלוש קבוצות נתונים הן: 6, 6, 8, 8; 0, 6, 8, 14; 0, 0, 14, 14. בשלוש הקבוצות הממוצע הוא 7. עם זאת, הקבוצה הראשונה כוללת ערכים קרובים מאוד זה לזה, ולכן היא הומוגנית יחסית. הקבוצה השנייה כוללת ערכים מגוונים יותר, והקבוצה השלישית כוללת ערכים קיצוניים מרוחקים מהממוצע. לכן, אף על פי שהממוצע זהה, רמת הפיזור שונה.

השוואת פיזור בין קבוצות נתונים

כאשר משווים שתי קבוצות או יותר באותו משתנה, סטיית התקן מאפשרת להסיק מסקנות על אופי הקבוצות.

אם סטיית התקן של קבוצה גדולה, אפשר לומר שהנתונים בקבוצה מפוזרים יותר. בהקשר של ציונים, הדבר עשוי להעיד על פערים גדולים בין תלמידים או על חוסר עקביות בתוצאות. בהקשר של זמני המתנה, סטיית תקן גדולה עשויה להעיד על כך שחלק מהאנשים ממתינים זמן קצר מאוד וחלקם זמן ארוך מאוד.

אם סטיית התקן של קבוצה קטנה, הנתונים דומים יותר זה לזה. בהקשר של ציונים, הדבר עשוי להעיד על הישגים קרובים בין הנבחנים. בהקשר של מדידות מדעיות, סטיית תקן קטנה עשויה להעיד על מדידות עקביות יותר.

כאשר לשתי קבוצות יש ממוצע דומה אך סטיות תקן שונות, ההבדל העיקרי ביניהן הוא במידת הפיזור. הקבוצה בעלת סטיית התקן הגדולה יותר היא הקבוצה שבה הנתונים רחוקים יותר מהממוצע ויש בה שונות גדולה יותר. הקבוצה בעלת סטיית התקן הקטנה יותר היא הקבוצה שבה הנתונים מרוכזים יותר סביב הממוצע.

אם הממוצעים של הקבוצות שונים, יש להציג גם את הממוצע וגם את סטיית התקן, כדי לא לפרש את הפיזור לבדו. במקרים כאלה יכול להיות שלקבוצה אחת יש ממוצע גבוה יותר וסטיית תקן גדולה יותר, ולכן המסקנה צריכה להתייחס הן למרכז והן לפיזור.

לפיכך, בעת השוואה אין להסתפק רק בקביעה שסטיית התקן גדולה או קטנה. יש להסביר את המשמעות: האם הקבוצה עקבית, האם יש בה פערים גדולים, והאם הממוצע שלה מייצג את רוב הפרטים.

השפעת שינויים בנתונים על סטיית התקן

סטיית התקן אינה קבועה בהכרח, והיא משתנה כאשר הנתונים משתנים. אפשר להעריך את כיוון השינוי גם בלי חישוב מלא, אם בוחנים כיצד השינוי משפיע על מרחק הנתונים מהממוצע.

אם ערך בנתונים משתנה כך שהוא מתקרב לממוצע, הפיזור קטן ולכן סטיית התקן תקטן. אם ערך משתנה כך שהוא מתרחק מהממוצע, הפיזור גדל ולכן סטיית התקן תגדל.

אם מוסיפים לקבוצה ערך השווה לממוצע, הממוצע אינו משתנה, אך נוסף נתון שאין לו סטייה מהממוצע. כאשר הייתה בקבוצה סטייה כלשהי, תוספת כזו מקטינה את סטיית התקן. לעומת זאת, הוספת ערך רחוק מהממוצע מגדילה את הפיזור ולכן מגדילה את סטיית התקן.

גם שינוי בשכיחות של ערך יכול להשפיע על סטיית התקן, אפילו אם הממוצע אינו משתנה. הגדלת השכיחות של ערך הקרוב לממוצע מקטינה בדרך כלל את הפיזור, ואילו הגדלת השכיחות של ערך רחוק מהממוצע מגדילה בדרך כלל את הפיזור.

חישוב סטיית תקן בעזרת כלים טכנולוגיים ופרשנות התוצאה

בחישובים מעשיים, במיוחד כאשר מספר הנתונים גדול, נהוג להשתמש במחשבון, בגיליון אלקטרוני או בתוכנה סטטיסטית. הכלי הטכנולוגי מחשב את הממוצע ואת סטיית התקן במהירות, אך את התוצאה יש לפרש ביחס לנתונים.

יש לבדוק אם סטיית התקן קטנה ומעידה על קיבוץ סביב הממוצע, או גדולה ומעידה על שונות רחבה. כמו כן, יש להשוות את הערך לקבוצות אחרות רק כאשר הנתונים נמדדים באותו משתנה ובאותן יחידות. לפיכך, גם כאשר החישוב נעשה בעזרת כלי טכנולוגי, עיקר העבודה הוא הבנת המשמעות הסטטיסטית של המספר והסקת מסקנות מתאימה.