קדומות ואינטגרלים לא־מסוימים

שיעור זה עוסק בפעולה ההפוכה לגזירה: נתונה פונקציה המתארת קצב שינוי, ונדרש למצוא פונקציה שהנגזרת שלה היא הפונקציה הנתונה. הרעיון המרכזי הוא שאינטגרל לא־מסוים אינו פונקציה יחידה אלא משפחה של פונקציות קדומות, הנבדלות זו מזו בקבוע. לכן חישוב אינטגרל מחייב שימוש בטבלת קדומות, בכללי ליניאריות ובאימות באמצעות גזירה.

הגדרת פונקציה קדומה ואינטגרל לא־מסוים

תהי פונקציה $f$ מוגדרת בתחום $I$. פונקציה $F$ תיקרא פונקציה קדומה של $f$ בתחום $I$ אם לכל $x$ בתחום מתקיים:

$F'(x)=f(x)$

לדוגמה, אם $f(x)=2x$, אז $F(x)=x^2$ היא פונקציה קדומה של $f$, משום ש-$(x^2)'=2x$. גם הפונקציה $x^2+5$ היא קדומה של אותה פונקציה, שהנגזרת של קבוע היא אפס. מכאן עולה שפונקציה נתונה אינה בעלת קדומה יחידה בדרך כלל, אלא משפחה שלמה של קדומות.

האינטגרל הלא־מסוים של $f$ הוא אוסף כל הפונקציות הקדומות שלה, ומסומן כך:

$\int f(x)\,dx$

הסימון $\int$ הוא סימן האינטגרל, $f(x)$ היא הפונקציה המשולבת, והאות $dx$ מציינת את המשתנה שלפיו מתבצעת האינטגרציה. בקורס זה נשתמש בעיקר במשתנה $x$, אך אותו עיקרון חל על כל משתנה.

אם מצאנו קדומה אחת $F$ של $f$, נכתוב:

$\int f(x)\,dx = F(x)+C$

המשפט המרכזי כאן הוא: אם $F$ היא קדומה של $f$ בתחום כלשהו, אז לכל קבוע $C$ גם $F+C$ היא קדומה של $f$. אם התחום הוא קשיר, כלומר קטע, קרן או הישר כולו, כל קדומה של $f$ נבדלת מ-$F$ בקבוע בלבד. לכן הצירוף $F+C$ מייצג את כל הקדומות בתחום כזה. אם התחום מורכב מכמה קטעים זרים, יש להיזהר מבחינה פורמלית: ייתכן קבוע שונה בכל רכיב של התחום. בקורס בסיסי נעסוק לרוב בתחומים קשירים, ולכן נכתוב קבוע אחד.

דוגמה: נחפש אינטגרל לא־מסוים של $f(x)=4x^3$. מכיוון ש-$(x^4)'=4x^3$, נקבל:

$\int 4x^3\,dx = x^4+C$

הפונקציות $x^4$, $x^4-2$, $x^4+\pi$ הן כולן קדומות של $4x^3$, והפרמטר $C$ מאפשר לתאר את כולן בביטוי אחד.

קבוע האינטגרציה

הקבוע $C$ בביטוי $\int f(x)\,dx = F(x)+C$ נקרא קבוע האינטגרציה. מקורו בכך שגזירה מבטלת מידע על הזזה אנכית: הנגזרת של פונקציה קבועה היא אפס, ולכן פונקציות הנבדלות רק בקבוע הן בעלות אותה נגזרת.

לדוגמה:

$(3x^2+7)'=6x$

וגם:

$(3x^2)'=6x$

לכן שתי הפונקציות הן קדומות של $6x$, ונכתוב:

$\int 6x\,dx = 3x^2+C$

הוספת הקבוע אינה פרט טכני בלבד. בלעדיה, הביטוי מצביע על קדומה אחת בלבד ואינו מייצג את כל אוסף הפונקציות שהנגזרת שלהן היא $f$. יחד עם זאת, נהוג לכתוב קבוע אחד בלבד בסוף החישוב. אם מתקבלים כמה קבועים במהלך פירוק האינטגרל, ניתן לאחד אותם לקבוע יחיד, כי סכום של קבועים הוא קבוע.

בהקשר של בעיות עם תנאי התחלה, ערכו של $C$ יכול להיקבע מתוך נתון נוסף, למשל ערך הפונקציה בנקודה. אולם בהיעדר נתון כזה, נשאר קבוע חופשי.

דוגמאות פשוטות:

$\int 5\,dx = 5x+C$

כי:

$(5x+C)'=5$

וכן:

$\int 0\,dx = C$

כי הנגזרת של כל פונקציה קבועה היא אפס.

טבלת קדומות מיידיות

טבלת הקדומות מתקבלת מטבלת הנגזרות: בכל שורה, נגזרתה של הקדומה בעמודה הימנית היא הפונקציה בעמודה השמאלית. בעת כתיבת אינטגרל לא־מסוים יש להוסיף את קבוע האינטגרציה, גם אם בטבלה עצמה מופיעה קדומה אחת בלבד.

פונקציה $f(x)$	קדומה $F(x)$
$k$	$kx$
$x^n,\ n\neq -1$	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$
$\dfrac{1}{x}$	$\ln
$e^x$	$e^x$
$\sin x$	$-\cos x$
$\cos x$	$\sin x$

הטבלה מחייבת תשומת לב לתחום ההגדרה. השורה של $\dfrac{1}{x}$ נוגעת לערכי $x\neq 0$. השורה של חזקות אינה חלה על $n=-1$, משום שהמכנה בנוסחה היה מתאפס. עבור המקרה הזה מתאימה הקדומה $\ln|x|$. עבור חזקות שליליות אחרות אפשר להשתמש באותו כלל חזקות לאחר כתיבת הפונקציה כחזקה שלילית.

דוגמה:

$\int x^5\,dx = \frac{x^6}{6}+C$

דוגמה עם חזקה שלילית:

$\int \frac{1}{x^2}\,dx = \int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-1}}{-1}+C = -\frac{1}{x}+C$

אימות:

$\left(-\frac{1}{x}\right)' = \frac{1}{x^2}$

קדומות נפוצות נוספות, שמופיעות לעיתים קרובות בטבלאות מורחבות, הן:

$\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a}+C$

עבור $a>0$ ו-$a\neq 1$, וכן:

$\int \frac{1}{\cos^2 x}\,dx = \tan x+C$

ו:

$\int \frac{1}{\sin^2 x}\,dx = -\cot x+C$

כללי ליניאריות של האינטגרציה

האינטגרל הלא־מסוים מקיים את כללי הליניאריות, משום שהנגזרת עצמה היא פעולה ליניארית. אם $\alpha$ ו-$\beta$ קבועים, ו-$f$ ו-$g$ הן פונקציות שיש להן קדומות, אז:

$$\int \left[\alpha f(x)+\beta g(x)\right]dx = \alpha \int f(x)\,dx + \beta \int g(x)\,dx$$

בפרט, שני הכללים השימושיים הם:

• אינטגרל של סכום או הפרש של פונקציות שווה לסכום או להפרש של האינטגרלים המתאימים.
• אפשר להוציא גורם קבוע מחוץ לסימן האינטגרל.

הצדקה קצרה: אם $F'=f$ ו-$G'=g$, אז הנגזרת של $\alpha F+\beta G$ היא $\alpha f+\beta g$. לכן $\alpha F+\beta G$ היא קדומה של $\alpha f+\beta g$, וזה בדיוק תוכן הכלל.

הפירוק מאפשר לטפל בכל איבר בנפרד, ולכן הוא כלי מרכזי באינטגרציה של פולינומים וצירופים פשוטים.

דוגמה: נחשב את האינטגרל

$\int (3x^2-8x+7)\,dx$

נשתמש בליניאריות ובטבלת הקדומות:

$$\int (3x^2-8x+7)\,dx = 3\int x^2\,dx - 8\int x\,dx + 7\int 1\,dx$$ $$= 3\cdot \frac{x^3}{3} - 8\cdot \frac{x^2}{2} + 7x + C$$ $$= x^3 - 4x^2 + 7x + C$$

דוגמה נוספת:

$$\int (2e^x+5\cos x)\,dx = 2\int e^x\,dx + 5\int \cos x\,dx$$ $$= 2e^x + 5\sin x + C$$

יש להקפיד שהגורם שמוצא מחוץ לאינטגרל הוא קבוע. אין להוציא פונקציה של המשתנה. למשל, באופן כללי:

$\int x f(x)\,dx \neq x\int f(x)\,dx$

כלל הליניאריות עוסק במקדמים מספריים קבועים בלבד.

אימות תוצאה באמצעות גזירה

מכיוון שאינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה, כל תוצאה של אינטגרל לא־מסוים ניתנת לבדיקה ישירה. הבדיקה פשוטה: גוזרים את הביטוי שהתקבל בצד ימין ובודקים אם מתקבלת הפונקציה המקורית שבתוך האינטגרל. אם מתקבלת הפונקציה המקורית, התוצאה נכונה עד כדי קבוע. אם מתקבל ביטוי שונה, יש לתקן את המקדם, את החזקה או את הסימן.

הבדיקה אינה תלויה בערך $C$, כי נגזרת הקבוע היא אפס; לכן היא מאמתת את החלק המשתנה של הקדומה.

דרך עבודה מסודרת:

1. נסמן את התוצאה המשוערת: $\int f(x)\,dx = G(x)+C$.
2. נגזור את $G(x)+C$.
3. נשווה את הנגזרת ל-$f(x)$. אם הן שוות, האינטגרל נכון.

דוגמה: נחשב

$\int (10x^4-2\sin x)\,dx$

לפי הטבלה והליניאריות:

$10\int x^4\,dx - 2\int \sin x\,dx$

$$= 10\cdot \frac{x^5}{5} - 2(-\cos x)+C$$ $$= 2x^5+2\cos x+C$$

כעת נאמת בגזירה:

$(2x^5+2\cos x+C)' = 10x^4 - 2\sin x$

התוצאה זהה לפונקציה המקורית, ולכן החישוב נכון.

דוגמה לזיהוי שגיאה: נניח שנכתב

$\int \sin x\,dx = \cos x+C$

גזירת הצד הימני נותנת:

$(\cos x+C)' = -\sin x$

ולכן הסימן שגוי. התיקון הוא:

$\int \sin x\,dx = -\cos x+C$

כי:

$(-\cos x+C)' = \sin x$

דוגמה נוספת עם מקדם: עבור $\int x^3\,dx$, אם נכתוב בטעות $G(x)=x^4$, נקבל:

$G'(x)=4x^3$

כדי לקבל את $x^3$ יש לחלק ב-4, ולכן הקדומה הנכונה היא:

$\int x^3\,dx = \frac{x^4}{4}+C$