טורי חזקות וטיילור

השיעור עוסק במעבר מביטויים סופיים לייצוג של פונקציות כסכומים אינסופיים של חזקות, ובתנאים שבהם ייצוג כזה מותר ושימושי. הרעיון המרכזי הוא שפונקציה חלקה יכולה להיבנות כגבול של פולינומים סביב נקודה, ושהנגזרת והאינטגרל של הייצוג הזה ניתנים לחישוב איבר־איבר בתחום ההתכנסות.

טור חזקות סביב נקודה

טור חזקות הוא טור מהצורה

Σ aₙ(x − c)ⁿ

כאשר הסכימה היא מ־n = 0 עד אינסוף. כאן c היא מרכז הטור, aₙ הם המקדמים, ו־x הוא המשתנה. לכל ערך של x מתקבל טור מספרי, ולכן השאלה הראשונה היא לאילו ערכי x הטור מתכנס.

אם סדרת הסכומים החלקיים של הטור שואפת לגבול סופי, נאמר שהטור מתכנס באותו x. אם הטור מתכנס גם כאשר לוקחים את הערך המוחלט של כל איבריו, כלומר הטור Σ |aₙ(x − c)ⁿ| מתכנס, נאמר שההתכנסות היא מוחלטת. טור שמתכנס אך אינו מתכנס בערך מוחלט נקרא מתכנס בתנאי.

רדיוס ההתכנסות וקטע ההתכנסות

לכל טור חזקות שאינו טריוויאלי קיים מספר אי־שלילי R, הנקרא רדיוס ההתכנסות, כך שהתכנסות הטור תלויה במרחק של x מהמרכז c:

• אם |x − c| < R, הטור מתכנס בהחלט.
• אם |x − c| > R, הטור מתבדר.
• אם |x − c| = R, אין כלל כללי, ויש לבדוק כל קצה בנפרד.

אם R = 0, הטור מתכנס רק בנקודה x = c. אם R = ∞, הטור מתכנס לכל x ממשי. קטע ההתכנסות הוא אוסף כל הערכים של x שבהם הטור מתכנס, כולל קצוות שבהם נמצאה התכנסות.

דרך נפוצה לחישוב הרדיוס היא שימוש במבחן המנה. עבור הטור Σ aₙ(x − c)ⁿ בודקים את הגבול

lim |aₙ₊₁(x − c)ⁿ⁺¹ / aₙ(x − c)ⁿ|

אם הגבול הוא |x − c| · L, אז תנאי ההתכנסות המוחלטת הוא |x − c| · L < 1. לכן רדיוס ההתכנסות הוא R = 1/L, כאשר הגבול קיים. אם L = 0, הרדיוס הוא אינסופי; אם L = ∞, הרדיוס הוא 0.

דוגמה: נמצא את רדיוס וקטע ההתכנסות של הטור

Σ (x − 2)ⁿ / n

כאן האיבר הכללי הוא bₙ = (x − 2)ⁿ / n. נחשב את היחס בין איברים עוקבים בערך מוחלט:

|bₙ₊₁ / bₙ| = |x − 2| · n / (n + 1)

כאשר n שואף לאינסוף, הגבול הוא |x − 2|. לכן הטור מתכנס בהחלט כאשר |x − 2| < 1, כלומר כאשר 1 < x < 3. מכאן שרדיוס ההתכנסות הוא R = 1.

בדיקת קצוות של קטע ההתכנסות

בנקודות שבהן |x − c| = R מבחן המנה נותן גבול שווה ל־1 ולכן אינו מכריע. לכן יש להציב כל קצה בנפרד ולקבל טור מספרי רגיל. את הטור הזה בודקים בעזרת מבחני התכנסות ידועים, כגון מבחן השוואה, מבחן המנה, המבחן האינטגרלי, או מבחן לייבניץ לטורים מתחלפים.

אם בקצה מסוים הטור מתכנס, הקצה נכלל בקטע ההתכנסות. אם הוא מתבדר, הקצה אינו נכלל. לכן קטע ההתכנסות יכול להיות פתוח, סגור, או חצי־פתוח.

נחזור לדוגמה הקודמת. הקצוות הם x = 1 ו־x = 3.

עבור x = 3 מתקבל הטור

Σ 1 / n

וזהו הטור ההרמוני, ולכן הוא מתבדר.

עבור x = 1 מתקבל הטור

Σ (−1)ⁿ / n

זהו טור הרמוני מתחלף, והוא מתכנס לפי מבחן לייבניץ, אך אינו מתכנס בהחלט. לכן קטע ההתכנסות הוא

[1, 3)

טור טיילור וטור מקלורן

תהי f פונקציה בעלת נגזרות מכל סדר בסביבת נקודה a. טור טיילור של f סביב a הוא הטור

Σ f⁽ⁿ⁾(a) / n! · (x − a)ⁿ

המקדם של (x − a)ⁿ נקבע לפי ערך הנגזרת מסדר n של הפונקציה בנקודה a, מחולק ב־n!. כאשר a = 0, הטור נקרא טור מקלורן.

פולינום טיילור מסדר N הוא הסכום החלקי של הטור עד האיבר מסדר N:

P_N(x) = Σ_{n=0}^{N} f⁽ⁿ⁾(a) / n! · (x − a)ⁿ

פולינום זה משמש קירוב פולינומי של הפונקציה בסביבת a. ככל שהסדר גבוה יותר, הקירוב עשוי להיות מדויק יותר, אך הדבר תלוי בהתנהגות השארית.

דוגמה חשובה היא הפונקציה eˣ סביב 0. מאחר שכל הנגזרות של eˣ שוות ל־eˣ, ובנקודה 0 ערכן הוא 1, מתקבל טור מקלורן

eˣ = Σ xⁿ / n!

רדיוס ההתכנסות של טור זה הוא אינסופי, משום שהיחס בין איברים עוקבים הוא |x| / (n + 1), והוא שואף ל־0 לכל x.

פונקציה	טור מקלורן	תחום התכנסות
1 / (1 − x)	Σ xⁿ	‏
eˣ	Σ xⁿ / n!	כל x
sin x	Σ (−1)ⁿ x²ⁿ⁺¹ / (2n + 1)!	כל x
cos x	Σ (−1)ⁿ x²ⁿ / (2n)!	כל x
ln(1 + x)	Σ (−1)ⁿ⁻¹ xⁿ / n	‏

שארית טיילור ותנאי להתכנסות אל הפונקציה

גם אם אפשר לבנות את טור טיילור של פונקציה, אין מכך בהכרח שהטור מתכנס אל הפונקציה עצמה. כדי לבחון זאת מגדירים את השארית. אם P_N(x) הוא פולינום טיילור מסדר N, השארית היא

R_N(x) = f(x) − P_N(x)

אם f גזירה N + 1 פעמים, נוסחת לגראנז’ לשארית קובעת שקיימת נקודה ξ בין a ל־x כך ש־

R_N(x) = f⁽ᴺ⁺¹⁾(ξ) / (N + 1)! · (x − a)ᴺ⁺¹

אם עבור כל x בקטע מסוים השארית שואפת ל־0 כאשר N שואף לאינסוף, אז טור טיילור מתכנס אל הפונקציה באותו קטע. אם השארית אינה שואפת ל־0, הטור עשוי להתכנס לערך אחר או שלא להתכנס כלל.

דוגמה: עבור sin x סביב 0, כל הנגזרות הן מהצורה ±sin x או ±cos x, ולכן הערך המוחלט של כל נגזרת חסום על ידי 1. לכן לפי נוסחת לגראנז’

|R_N(x)| ≤ |x|ᴺ⁺¹ / (N + 1)!

מאחר ש־|x|ᴺ⁺¹ / (N + 1)! שואף ל־0 לכל x קבוע, השארית שואפת ל־0, ולכן טור מקלורן של sin x מתכנס אל sin x בכל הישר הממשי.

חישוב טורים באמצעות טורים ידועים

פעמים רבות אין צורך לחשב נגזרות מסדרים גבוהים כדי למצוא טור. אפשר להשתמש בטורים ידועים ובפעולות אלגבריות פשוטות. הכלי הבסיסי ביותר הוא הטור הגאומטרי:

1 / (1 − q) = Σ qⁿ, עבור |q| < 1

אם מציבים q = x, מתקבל

1 / (1 − x) = Σ xⁿ, עבור |x| < 1

ואם מציבים q = −x, מתקבל

1 / (1 + x) = Σ (−1)ⁿ xⁿ, עבור |x| < 1

הצבה של ביטוי אחר במקום q מותרת כל עוד הערך המוחלט של הביטוי קטן מ־1 בתחום המבוקש.

דוגמה: נפתח את הפונקציה

3 / (1 + 2x)

לטור חזקות סביב 0. נכתוב

3 / (1 + 2x) = 3 · 1 / (1 − (−2x))

לכן לפי הטור הגאומטרי עם q = −2x:

3 / (1 + 2x) = 3 Σ (−2x)ⁿ = Σ 3(−2)ⁿ xⁿ

תנאי ההתכנסות הוא |−2x| < 1, כלומר |x| < 1/2. לכן רדיוס ההתכנסות הוא 1/2.

גזירה איבר־איבר של טורי חזקות

אם טור חזקות מתכנס ברדיוס התכנסות R > 0, אז בתוך הקטע הפתוח |x − c| < R הוא מגדיר פונקציה גזירה, וניתן לגזור אותו איבר־איבר. כלומר, אם

f(x) = Σ aₙ(x − c)ⁿ

אז בתוך רדיוס ההתכנסות מתקיים

f′(x) = Σ n aₙ(x − c)ⁿ⁻¹

כאשר הסכימה מתחילה למעשה מ־n = 1, כי האיבר הקבוע מתאפס בגזירה.

הרדיוס של הטור הנגזר נשאר R, אך ההתכנסות בקצוות עשויה להשתנות, ולכן יש לבדוק אותה מחדש אם נדרש מידע על הקצוות.

דוגמה: ידוע כי

1 / (1 − x) = Σ xⁿ, עבור |x| < 1

נגזור את שני האגפים איבר־איבר:

1 / (1 − x)² = Σ n xⁿ⁻¹

והטור שמתקבל מתכנס גם הוא עבור |x| < 1.

אינטגרציה איבר־איבר של טורי חזקות

גם אינטגרציה של טור חזקות מותרת בתוך רדיוס ההתכנסות. אם

f(x) = Σ aₙ(x − c)ⁿ

אז עבור |x − c| < R אפשר לבצע אינטגרציה איבר־איבר ולקבל

∫ f(x) dx = C + Σ aₙ(x − c)ⁿ⁺¹ / (n + 1)

כאשר C הוא קבוע האינטגרציה. אם מבצעים אינטגרציה מ־c עד x, הקבוע נקבע באופן טבעי לפי ערך האינטגרל בנקודת המרכז.

גם באינטגרציה איבר־איבר רדיוס ההתכנסות נשמר, אך הקצוות עשויים להשתנות.

דוגמה: נשתמש בטור

1 / (1 + t) = Σ (−1)ⁿ tⁿ, עבור |t| < 1

נבצע אינטגרציה מ־0 עד x:

∫₀ˣ 1 / (1 + t) dt = Σ (−1)ⁿ ∫₀ˣ tⁿ dt

אגף שמאל הוא ln(1 + x), ובאגף ימין מתקבל

Σ (−1)ⁿ xⁿ⁺¹ / (n + 1)

ולכן

ln(1 + x) = Σ (−1)ⁿ xⁿ⁺¹ / (n + 1)

או בצורה שקולה,

ln(1 + x) = Σ (−1)ⁿ⁻¹ xⁿ / n

עבור |x| < 1 הטור מתכנס בהחלט. בקצה x = 1 מתקבל הטור המתחלף

1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + …

והוא מתכנס. בקצה x = −1 מתקבל טור הרמוני עם סימן קבוע, והוא מתבדר. לכן קטע ההתכנסות של הטור של ln(1 + x) הוא (−1, 1].