טורים אינסופיים ומבחני בסיס

שיעור זה עוסק בהגדרת טור אינסופי כגבול של סכומים חלקיים ובתנאי ההתכנסות הבסיסיים שלו. נבחנות בו שתי משפחות טורים שמשמשות אבני בניין: טורים גאומטריים וטורי $p$. לאחר מכן מוצגים שני כלים להכרעה על התכנסות בלי לחשב את סכום הטור: מבחן האינטגרל ומבחן ההשוואה הישירה.

סכומים חלקיים ותנאי האיבר הכללי

נתחיל בהגדרה. תהי $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ סדרה של מספרים ממשיים. עבור כל $N$ טבעי נגדיר את הסכום החלקי $S_N$ על ידי

$$S_N = a_1+a_2+\cdots+a_N = \sum_{n=1}^{N} a_n.$$

הטור האינסופי $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ מוגדר כגבול של סדרת הסכומים החלקיים. אם קיים גבול סופי $S=\lim_{N\to\infty} S_N$, נאמר שהטור מתכנס וסכומו $S$. אם הגבול אינו קיים או שאינו סופי, נאמר שהטור מתבדר.

דוגמה קצרה ממחישה את ההגדרה. עבור $a_n=2^{-n}$ מתקבל

$$S_N=\frac12+\frac14+\cdots+\frac1{2^N}=1-\frac1{2^N}.$$

לכן $\lim_{N\to\infty}S_N=1$, ולכן הטור $\sum_{n=1}^{\infty}2^{-n}$ מתכנס וסכומו $1$.

תנאי הכרחי להתכנסות נובע ישירות מהגדרת הסכומים החלקיים. אם הטור $\sum a_n$ מתכנס, אז $a_n\to 0$. ואכן, $a_n=S_n-S_{n-1}$, ואם $S_n\to S$ ו-$S_{n-1}\to S$, אז $a_n\to S-S=0$. תנאי זה נקרא תנאי האיבר הכללי.

התנאי $a_n\to 0$ אינו מספיק להתכנסות. הטור ההרמוני $\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n$ הוא הדוגמה הקלאסית: איבריו שואפים לאפס, אך הטור עצמו מתבדר. לכן, כאשר $a_n$ אינו שואף לאפס אפשר לקבוע מיד שהטור מתבדר; אך כאשר $a_n\to 0$, עדיין נדרש מבחן נוסף.

טורים גאומטריים

טור גאומטרי הוא טור שבו כל איבר מתקבל מהקודם לו בהכפלה בקבוע $r$, הנקרא מנת הטור. הצורה הכללית היא

$$\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = a + ar + ar^2 + \cdots,$$

כאשר $a$ הוא האיבר הראשון. עבור $r\ne 1$ הסכום החלקי הוא

$$S_N = a\frac{1-r^{N+1}}{1-r}.$$

מכאן נובעת הכרעה מלאה: אם $|r|<1$, אז $r^{N+1}\to 0$ ולכן הטור מתכנס וסכומו

$$\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \frac{a}{1-r}.$$

אם $|r|\ge 1$ ו-$a\ne0$, הטור מתבדר. בפרט, עבור $r=1$ הסכומים החלקיים הם $(N+1)a$, ועבור $r=-1$ הם מתנודדים בין $a$ ל-$0$.

דוגמה: נחשב את $\sum_{n=0}^{\infty}3\left(\frac12\right)^n$. כאן $a=3$ ו-$r=\frac12$, ולכן

$$\sum_{n=0}^{\infty}3\left(\frac12\right)^n=\frac{3}{1-\frac12}=6.$$

אם הטור מתחיל ב-$n=1$, למשל $\sum_{n=1}^{\infty}3\left(\frac12\right)^n$, אפשר להחסיר את האיבר הראשון של הטור המתחיל ב-$n=0$:

$$\sum_{n=1}^{\infty}3\left(\frac12\right)^n = 6-3=3.$$

טורים גאומטריים משמשים לא רק כדוגמאות בסיסיות אלא גם ככלי השוואה, משום שההתכנסות שלהם נקבעת במפורש לפי גודל המנה.

טורי $p$

טור $p$ הוא טור מהצורה

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^p},$$

כאשר $p$ קבוע ממשי. התכנסותו תלויה בערך $p$:

• אם $p>1$, הטור מתכנס.
• אם $p\le 1$, הטור מתבדר.

המקרה $p=1$ הוא הטור ההרמוני $\sum 1/n$, והוא מתבדר. עבור $p\le 0$ האיבר הכללי $1/n^p$ כלל אינו שואף לאפס, ולכן ההתבדרות נובעת מתנאי האיבר הכללי. עבור $01$.

• $\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{\sqrt n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^{1/2}}$ מתבדר, כי $p=\frac12\le1$.
• $\sum_{n=1}^{\infty}1$ מתבדר, כי כאן $p=0$ והאיבר הכללי אינו שואף לאפס.

טורי $p$ הם משפחת ייחוס מרכזית במבחני השוואה: כאשר איבר כללי דומה לחזקה של $1/n$, נהיה מעוניינים להשוות אותו לטור $p$ מתאים.

מבחן האינטגרל

מבחן האינטגרל מחבר בין התכנסות של טור חיובי לבין התכנסות של אינטגרל לא עצמי. נניח ש-$f$ פונקציה חיובית, רציפה ויורדת בתחום $x\ge 1$, וש-$f(n)=a_n$ לכל $n$ טבעי. בתנאים אלה, $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ מתכנס אם ורק אם $\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx$ מתכנס.

האינטואיציה הגאומטרית פשוטה: את האיבר $a_n=f(n)$ אפשר לראות כשטח מלבן שגובהו $f(n)$ ורוחבו $1$. מכיוון ש-$f$ יורדת, שטח המלבנים קשור לשטח שמתחת לעקומה באי־שוויונות חסימה. לכן השאלה אם סכום המלבנים סופי שקולה לשאלה אם האינטגרל הלא עצמי סופי.

נשתמש במבחן כדי להכריע את טורי $p$. ניקח $f(x)=x^{-p}$ עבור $x\ge1$. עבור $p\ne1$,

$$\int_{1}^{M} x^{-p}\,dx = \left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]_{1}^{M}=\frac{M^{1-p}-1}{1-p}.$$

כאשר $p>1$, החזקה $1-p$ שלילית ולכן $M^{1-p}\to0$, והאינטגרל מתכנס. כאשר $p<1$, החזקה $1-p$ חיובית ולכן $M^{1-p}\to\infty$, והאינטגרל מתבדר. עבור $p=1$,

$$\int_{1}^{M}\frac1x\,dx=\ln M\to\infty,$$

ולכן גם הטור ההרמוני מתבדר. מכאן מתקבלת ההכרעה המלאה של טורי $p$.

מבחן האינטגרל קובע התכנסות או התבדרות, אך אינו נותן בדרך כלל את סכום הטור. למשל, הידיעה ש-$\sum 1/n^2$ מתכנס אינה אומרת שסכומו שווה לערך האינטגרל $\int_1^\infty x^{-2}dx=1$.

מבחן ההשוואה הישירה

מבחן ההשוואה הישירה מאפשר להכריע על טור חיובי באמצעות השוואת איבריו לאיברי טור אחר שטיבו ידוע. נניח ש-$0\le a_n\le b_n$ לכל $n$ טבעי. אז:

• אם $\sum b_n$ מתכנס, גם $\sum a_n$ מתכנס.
• אם $\sum a_n$ מתבדר, גם $\sum b_n$ מתבדר.

די בכך שהאי־שוויון מתקיים לכל $n$ גדול מספיק, משום ששינוי של מספר סופי של איברים אינו משנה את עצם ההתכנסות. שינוי כזה יכול לשנות את סכום הטור, אך לא את ההכרעה אם הטור מתכנס או מתבדר.

דוגמה להתכנסות: נבחן את $\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2+3}$. לכל $n\ge1$,

$$0\le \frac1{n^2+3}\le \frac1{n^2}.$$

הטור $\sum 1/n^2$ הוא טור $p$ עם $p=2>1$, ולכן הוא מתכנס. לפי מבחן ההשוואה הישירה, גם $\sum 1/(n^2+3)$ מתכנס.

דוגמה להתבדרות: נבחן את $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^2+1}$. עבור $n\ge1$ מתקיים $n^2+1\le 2n^2$, ולכן

$$\frac{n}{n^2+1}\ge \frac{n}{2n^2}=\frac1{2n}.$$

הטור $\sum \frac1{2n}=\frac12\sum\frac1n$ מתבדר, כי הוא כפולה קבועה של הטור ההרמוני. לכן גם $\sum \frac{n}{n^2+1}$ מתבדר.

השוואה לטורי $p$ באמצעות חסמים פשוטים

במבחני בסיס רבים, האסטרטגיה היא לזהות את החזקה הדומיננטית של $n$ באיבר הכללי, ואז לבנות חסם עליון או תחתון בעזרת טור $p$. כאשר המונה והמכנה הם פולינומים ב-$n$, האיבר מתנהג כמו היחס בין החזקות המובילות.

לדוגמה, עבור

$$\frac{n+1}{n^3+5}$$

ההתנהגות הדומיננטית היא $\frac{n}{n^3}=\frac1{n^2}$. כדי להוכיח התכנסות בהשוואה ישירה, נבנה חסם עליון. עבור $n\ge1$,

$$n+1\le 2n,\qquad n^3+5\ge n^3,$$

ולכן

$$0\le \frac{n+1}{n^3+5}\le \frac{2n}{n^3}=\frac2{n^2}.$$

הטור $\sum 2/n^2$ מתכנס, ולכן הטור $\sum (n+1)/(n^3+5)$ מתכנס.

כאשר רוצים להוכיח התבדרות, נזדקק לחסם תחתון חיובי על ידי טור מתבדר. עבור

$$\frac{n}{n^2+4}$$

נבחין כי עבור $n\ge2$ מתקיים $4\le n^2$, ולכן $n^2+4\le 2n^2$. מכאן

$$\frac{n}{n^2+4}\ge \frac{n}{2n^2}=\frac1{2n}.$$

מכיוון ש-$\sum 1/(2n)$ מתבדר, גם הטור $\sum n/(n^2+4)$ מתבדר.

דוגמה נוספת עם היסט אינדקסים היא $\sum_{n=2}^{\infty}\frac1{n^2-1}$. עבור $n\ge2$ מתקיים $1\le \frac12 n^2$, ולכן $n^2-1\ge \frac12 n^2$. מכאן

$$0\le \frac1{n^2-1}\le \frac2{n^2}.$$

הטור $\sum_{n=2}^{\infty}2/n^2$ מתכנס, משום שהוא כפולה קבועה של טור $p$ עם $p=2$ לאחר השמטת האיבר הראשון. לכן גם $\sum_{n=2}^{\infty}1/(n^2-1)$ מתכנס.