סדרה חשבונית – הגדרה ותכונות

השיעור עוסק בסדרה שבה המרחק בין כל איבר לאיבר העוקב לו קבוע. תכונה זו יוצרת קצב שינוי קבוע, ולכן אפשר לתאר את הסדרה בכמה דרכים: במילים, בטבלת ערכים, בנוסחה ובגרף. נלמד כיצד לעבור בין הייצוגים וכיצד לזהות אם הסדרה עולה, יורדת או קבועה.

הגדרת סדרה חשבונית והפרש הסדרה

סדרה היא רשימה של מספרים המסודרים לפי מקומות. המקום של כל איבר מסומן באות n, והערכים הם a_1, a_2, a_3 וכך הלאה. כאן n הוא מספר טבעי: 1, 2, 3, ...

סדרה חשבונית היא סדרה שבה ההפרש בין כל איבר לבין האיבר הקודם לו קבוע. הפרש זה נקרא הפרש הסדרה ומסומן באות d.

כלומר, לכל n מתקיים:

a_{n+1} - a_n = d

לדוגמה, בסדרה 3, 7, 11, 15, ... ההפרש בין כל איבר לאיבר הקודם הוא 4, ולכן זו סדרה חשבונית שבה d=4. בסדרה 20, 17, 14, 11, ... ההפרש הוא 3-, ולכן d=-3.

כדי לבדוק אם סדרה היא חשבונית, אין די בבדיקת שני הפרשים מקריים. יש לוודא שההפרש קבוע בין כל זוג איברים עוקבים. לעומת זאת, אם נמצא זוג עוקב אחד שבו ההפרש שונה, די בכך כדי להראות שהסדרה אינה חשבונית.

ייצוג מילולי וייצוג מספרי

סדרה חשבונית יכולה להיות מתוארת במילים. ייצוג כזה נקרא ייצוג מילולי. למשל: "האיבר הראשון הוא 3, ובכל מעבר לאיבר הבא מוסיפים 4". תיאור זה מציין שני נתונים: האיבר הראשון והפרש הסדרה.

ייצוג נוסף הוא ייצוג מספרי, שבו מציגים את מקום האיבר ואת ערכו בטבלת ערכים.

n	a_n
1	3
2	7
3	11
4	15
5	19

מתוך הטבלה אפשר לזהות את ההפרש: מחשבים את ההפרש בין ערכים סמוכים. כאן 7-3=4, 11-7=4, 15-11=4, ולכן הסדרה חשבונית והפרשה 4.

אם ההפרשים בין הערכים הסמוכים אינם שווים, הטבלה אינה מתארת סדרה חשבונית. לכן טבלת ערכים אינה רק אופן הצגה, אלא גם כלי לבדיקת החוקיות.

ייצוג סימבולי: נוסחה לפי מקום וכלל נסיגה

נהוג לתאר סדרה חשבונית בשני אופנים סימבוליים מרכזיים: נוסחה לפי מקום וכלל נסיגה.

נוסחה לפי מקום נותנת את ערך האיבר ישירות לפי מקומו n. בסדרה חשבונית שבה האיבר הראשון הוא a_1 והפרש הסדרה הוא d, האיבר במקום ה-n הוא:

a_n = a_1 + (n-1)d

הביטוי (n-1)d מבטא את העובדה שבמעבר מהאיבר הראשון לאיבר במקום ה-n מבצעים n-1 הוספות של ההפרש d.

כלל נסיגה מתאר את המעבר מאיבר לאיבר העוקב לו. בסדרה חשבונית כלל הנסיגה הוא:

a_{n+1} = a_n + d

כדי שכלל הנסיגה יגדיר את הסדרה באופן מלא, חייבים לציין גם את האיבר הראשון, למשל a_1=3. בלי נתון התחלתי, כלל הנסיגה לבדו אינו קובע סדרה אחת ויחידה.

לדוגמה, את הסדרה שבה a_1=3 ו-d=4 אפשר לתאר כך:

a_1 = 3, a_{n+1} = a_n + 4

או בנוסחה לפי מקום:

a_n = 3 + 4(n-1) = 4n - 1

מעבר בין ייצוג לפי מקום לכלל נסיגה ולהפך

המעבר בין שני הייצוגים הסימבוליים מתבסס על שני הנתונים: האיבר הראשון a_1 והפרש הסדרה d.

אם נתון כלל נסיגה מהצורה a_{n+1}=a_n+d וידוע האיבר הראשון, אפשר לעבור לנוסחה לפי מקום. האיבר הראשון הוא a_1, וההפרש הוא d, ולכן:

a_n = a_1 + (n-1)d

למשל, אם a_1=5 ו-a_{n+1}=a_n-2, אז d=-2 ולכן:

a_n = 5 - 2(n-1) = 7 - 2n

אם נתונה נוסחה לפי מקום מהצורה a_n = pn + b, אפשר לעבור לכלל נסיגה. המקדם של n הוא הפרש הסדרה, כלומר d=p. את האיבר הראשון מקבלים בהצבת n=1:

a_1 = p + b

למשל, אם a_n = 7 - 2n, אז d=-2 ו-a_1=5. לכן כלל הנסיגה הוא:

a_1 = 5, a_{n+1} = a_n - 2

במעבר מטבלת ערכים לייצוג סימבולי מחשבים תחילה את ההפרש d בין שני ערכים סמוכים, אחר כך מזהים את a_1, ולבסוף כותבים את הנוסחה או את כלל הנסיגה.

הייצוג הגרפי של סדרה חשבונית

את הסדרה אפשר להציג גם כגרף. מכיוון ש-n הוא משתנה בדיד, כלומר הוא מקבל רק ערכים טבעיים, הגרף אינו קו רציף אלא אוסף נקודות במערכת צירים. כל נקודה היא מהצורה (n, a_n).

אם נפתח את הנוסחה לפי מקום נקבל:

a_n = dn + (a_1 - d)

זהו ביטוי ליניארי ב-n. לכן כל הנקודות של סדרה חשבונית נמצאות על ישר אחד. הפרש הסדרה d הוא קצב השינוי, והוא מתאים לשיפוע הישר שעליו נמצאות הנקודות.

כאשר d חיובי, הנקודות עולות משמאל לימין. כאשר d שלילי, הנקודות יורדות. כאשר d=0, כל הנקודות נמצאות על קו אופקי.

סדרה עולה, יורדת וקבועה

תכונת העלייה או הירידה של סדרה חשבונית נקבעת לפי סימן הפרש הסדרה.

• אם d>0, כל איבר גדול מהאיבר הקודם, ולכן הסדרה עולה.
• אם d<0, כל איבר קטן מהאיבר הקודם, ולכן הסדרה יורדת.
• אם d=0, כל האיברים שווים זה לזה, ולכן הסדרה קבועה.

לדוגמה:

• הסדרה 2, 5, 8, 11, ... היא עולה, כי d=3.
• הסדרה 10, 7, 4, 1, ... היא יורדת, כי d=-3.
• הסדרה 6, 6, 6, 6, ... היא קבועה, כי d=0.

חשוב להבחין בין כיוון השינוי לבין סימן האיברים. סדרה יכולה להיות עולה ועדיין לכלול איברים שליליים בתחילתה, אם האיבר הראשון שלילי. באופן דומה, סדרה יורדת יכולה להתחיל באיברים חיוביים ולעבור בהמשך לאיברים שליליים.

כל איבר הוא ממוצע חשבוני של שכניו

תכונה מרכזית של סדרה חשבונית היא שכל איבר שיש לו שני שכנים הוא הממוצע החשבוני שלהם. ממוצע חשבוני של שני מספרים הוא סכומם חלקי 2.

לכן, אם a_{n-1}, a_n, a_{n+1} הם שלושה איברים עוקבים בסדרה חשבונית, מתקיים:

a_n = (a_{n-1} + a_{n+1}) / 2

ההסבר נובע ישירות מהגדרת הסדרה. האיבר שלפני a_n קטן ממנו ב-d, כלומר a_{n-1}=a_n-d. האיבר שאחריו גדול ממנו ב-d, כלומר a_{n+1}=a_n+d. אם נחבר את שני השכנים נקבל:

a_{n-1} + a_{n+1} = (a_n - d) + (a_n + d) = 2a_n

ולכן a_n הוא בדיוק הממוצע שלהם.

תכונה זו שימושית כאשר ידועים שני איברים שביניהם איבר אחד חסר. למשל, אם בסדרה חשבונית ידוע ש-a_4=9 ו-a_6=17, אז האיבר שביניהם הוא:

a_5 = (9 + 17) / 2 = 13

איברים חיוביים ושליליים בסדרה חשבונית

הסימן של איברי הסדרה אינו נקבע רק לפי היותה עולה או יורדת. הוא תלוי גם באיבר הראשון וגם בהפרש.

בסדרה עולה שבה d>0, הערכים גדלים עם המקום n. אם האיבר הראשון שלילי, הסדרה תתחיל באיברים שליליים, תעבור ליד אפס ותמשיך באיברים חיוביים. אם האיבר הראשון חיובי, כל איברי הסדרה חיוביים.

בסדרה יורדת שבה d<0, הערכים קטנים עם המקום n. אם האיבר הראשון חיובי, הסדרה תתחיל באיברים חיוביים, תעבור ליד אפס ותמשיך באיברים שליליים. אם האיבר הראשון שלילי, כל איברי הסדרה שליליים.

בסדרה קבועה, כל האיברים שווים לאיבר הראשון. לכן אם a_1 חיובי, כל האיברים חיוביים; אם a_1 שלילי, כל האיברים שליליים; אם a_1=0, כל האיברים הם 0.

כדי לבדוק אילו איברים חיוביים, משתמשים בנוסחה לפי מקום ופותרים את אי־השוויון a_n > 0. לדוגמה, בסדרה 13, 10, 7, 4, 1, -2, ... האיבר הראשון הוא 13 וההפרש הוא 3-. הנוסחה לפי מקום היא:

a_n = 13 - 3(n-1) = 16 - 3n

האיברים החיוביים הם אלה שבהם:

16 - 3n > 0

כלומר n < 16/3. מכיוון ש-n הוא מספר טבעי, הערכים האפשריים הם 1, 2, 3, 4, 5. לכן חמשת האיברים הראשונים חיוביים, והאיבר השישי כבר שלילי.

באופן דומה, כדי לבדוק מתי האיברים שליליים, פותרים את אי־השוויון a_n < 0. כך אפשר לקשר בין הנוסחה הסימבולית לבין התנהגות הסדרה לאורך המקומות השונים.