תהליכי גדילה ודעיכה מעריכיים

בשיעור זה נעסוק בתהליכים שבהם כמות משתנה מדי שלב באותו יחס קבוע או באותו אחוז קבוע. השינוי אינו תוספת קבועה אלא הכפלה קבועה, ולכן הכמות מתוארת על ידי פונקציה מעריכית. נלמד לזהות את רכיבי התהליך, לבחור יחידת זמן אחידה, לחשב כמויות וזמנים, ולהשוות בין תהליכים שונים.

תהליך רב־שלבי עם יחס קבוע או אחוז קבוע

תהליך מעריכי הוא תהליך שבו בכל שלב הכמות מוכפלת באותו מספר קבוע. מספר זה נקרא מקדם הגדילה או מקדם הדעיכה, ומסמנים אותו בדרך כלל באות q. אם הכמות ההתחלתית היא f(0), אז אחרי שלב אחד היא f(0)·q, אחרי שני שלבים היא f(0)·q², ואחרי t שלבים היא f(0)·q^t.

כאשר q גדול מ־1, הכמות גדלה משלב לשלב והתהליך הוא גדילה מעריכית. כאשר q בין 0 ל־1, הכמות קטנה משלב לשלב והתהליך הוא דעיכה מעריכית. אם q שווה ל־1, הכמות אינה משתנה ואין מדובר בגדילה או בדעיכה.

קשר חשוב נוסף הוא בין אחוז השינוי למקדם q. אם הכמות גדלה ב־p אחוזים בכל יחידת זמן, אז q = 1 + p/100. אם הכמות קטנה ב־p אחוזים בכל יחידת זמן, אז q = 1 − p/100. לדוגמה, גדילה של 5% בכל שנה מתוארת על ידי q = 1.05, ודעיכה של 20% בכל שנה מתוארת על ידי q = 0.8.

יש להבחין בין תהליך מעריכי לתהליך ליניארי. בתהליך ליניארי הכמות משתנה בתוספת קבועה, כגון הוספת 10 יחידות בכל שלב. בתהליך מעריכי הכמות משתנה בהכפלה קבועה, כגון הכפלה ב־1.1 בכל שלב. לכן בתהליך מעריכי הפערים בין הכמויות הולכים ומשתנים, בעוד שהיחס בין כמויות עוקבות נשאר קבוע.

בחירת יחידת זמן אחידה

כדי לתאר תהליך מעריכי בפונקציה, יש לקבוע תחילה יחידת זמן אחידה. יחידת הזמן יכולה להיות שעה, יממה, חודש, שנה או כל פרק זמן אחר, ובלבד שכל הנתונים והמשתנה t יימדדו באותה יחידה.

אם נתון שהכמות גדלה ב־3% בכל חודש, אז t ייספר בחודשים והנוסחה תכלול q = 1.03. אם אותה כמות גדלה ב־3% בכל שנה, אז t ייספר בשנים. אי אפשר לערבב חודשים ושנים באותו t בלי המרה. אם נתונים ניתנים בפרקי זמן שונים, יש להמירם ליחידה הנבחרת או לבחור יחידה חדשה שמתאימה לנתונים.

לעיתים נוח לבחור יחידת זמן שאינה שנה. למשל, אם מדידות נעשות כל שלוש שעות והכמות משתנה באחוז קבוע כל שלוש שעות, אפשר לבחור יחידת זמן של שלוש שעות. אם רוצים בכל זאת לעבוד בשעות, יש לחשב מקדם מתאים לשעה אחת. הבחירה ביחידת הזמן משפיעה על ערכו של q אך לא על התהליך עצמו, ובלבד שההמרה נעשית באופן עקבי.

הפונקציה f(t)=f(0)·q^t וייצוגה הגרפי

המודל הבסיסי לתהליך גדילה או דעיכה מעריכיים הוא הפונקציה f(t)=f(0)·q^t. בפונקציה זו, f(0) היא הכמות ההתחלתית, כלומר הכמות בזמן t=0. האות q היא מקדם הגדילה או הדעיכה ליחידת זמן אחת, והמשתנה t מציין את מספר יחידות הזמן שעברו מאז הזמן ההתחלתי.

כאשר f(0) חיובי ו־q חיובי, כל ערכי הפונקציה חיוביים. הגרף עובר בנקודה (0, f(0)). אם q גדול מ־1, הגרף עולה: ככל ש־t גדל, הכמות גדלה בקצב הולך וגדל. אם q בין 0 ל־1, הגרף יורד: הכמות קטנה אך אינה מגיעה לאפס בזמן סופי. בשני המקרים, ציר הזמן משמש אסימפטוטה אופקית: הגרף מתקרב אליו ככל ש־t גדל אך אינו חותך אותו.

הייצוג האלגברי והייצוג הגרפי משלימים זה את זה. מן הנוסחה אפשר לקרוא את הכמות ההתחלתית ואת מקדם השינוי, ומן הגרף אפשר לזהות אם התהליך הוא גדילה או דעיכה, מהי הכמות ההתחלתית וכיצד הכמות משתנה לאורך זמן.

מציאת כמויות, זמנים ופתרון משוואות

בחישוב כמויות, אם ידועים f(0), q ו־t, מציבים בנוסחה f(t)=f(0)·q^t ומקבלים את הכמות לאחר t יחידות זמן. אם מבקשים כמות לפני מספר יחידות זמן, אפשר להשתמש באותה נוסחה עם t שלילי או לחלק במקדם המתאים, בהתאם להקשר הבעיה.

כאשר הנעלם הוא q, משתמשים בשני ערכים ידועים. אם ידוע שהכמות הייתה f(0) בזמן 0 והייתה f(t) לאחר t יחידות זמן, מתקיים f(t)=f(0)·q^t. לאחר חלוקה ב־f(0) מקבלים q^t = f(t)/f(0). אם t ידוע, מוצאים q על ידי הוצאת שורש מסדר t או באמצעות חזקה רציונלית. אם t אינו שלם, עדיין אפשר להשתמש בחזקות ובשורשים, ובלבד שהיחס בין הכמויות חיובי.

כאשר הנעלם הוא t, מגיעים למשוואה מהצורה q^t = c, שבה c הוא יחס חיובי בין כמות מבוקשת לכמות ידועה. אם אפשר להביע את c כחזקה של q, משווים מעריכים. לדוגמה, אם q=2 ו־c=8, אז 2^t=8 ולכן t=3. אם אי אפשר לעשות זאת בקלות, משתמשים בלוגריתמים: t = ln(c)/ln(q), בתנאי ש־q חיובי ושונה מ־1 ו־c חיובי.

פתרון משוואות מסוג זה דורש הקפדה על סדר הפעולות: תחילה מבודדים את הביטוי q^t, ורק אחר כך מפעילים לוגריתם או שורש. אין להפעיל לוגריתם על סכום או על הפרש כאילו היה מכפלה. כמו כן, יש לבדוק שהפתרון מתאים להקשר: זמן שלילי עשוי לתאר זמן לפני תחילת המדידה, אך אם הבעיה מגדירה t כזמן שעבר מאז תחילת התהליך, ייתכן שפתרון שלילי אינו מתאים.

אי־שוויונות בתהליכי גדילה ודעיכה

בבעיות רבות נדרש לדעת מתי הכמות תהיה גדולה מערך מסוים, קטנה ממנו או שווה לו. לשם כך פותרים אי־שוויון. הדרך הנוחה היא תחילה למצוא את הזמן שבו מתקיים שוויון, כלומר לפתור את המשוואה f(t)=K, ולאחר מכן להשתמש בתכונת העלייה או הירידה של הפונקציה.

אם q גדול מ־1, הפונקציה עולה. לכן, אם מצאנו שהשוויון מתקיים בזמן t₀, אז עבור t גדול מ־t₀ הכמות תהיה גדולה מ־K, ועבור t קטן מ־t₀ הכמות תהיה קטנה מ־K. אם q בין 0 ל־1, הפונקציה יורדת. במקרה זה, עבור t גדול מ־t₀ הכמות תהיה קטנה מ־K, ועבור t קטן מ־t₀ הכמות תהיה גדולה מ־K.

כאשר פותרים אי־שוויון בעזרת לוגריתמים, יש לשים לב לכיוון אי־השוויון. חלוקה במספר חיובי אינה משנה את הכיוון, אך מעבר ללוגריתם בבסיס שבין 0 ל־1 הופך את כיוון אי־השוויון. דרך בטוחה היא להסתמך על כך שהפונקציה עולה כאשר q גדול מ־1 ויורדת כאשר q בין 0 ל־1, ולבדוק את המשמעות בזמן.

שילוב של כמה תהליכים והשוואה ביניהם

במציאות יכולים להתרחש כמה תהליכים מעריכיים במקביל. למשל, שתי אוכלוסיות, שני סכומי חיסכון או שני חומרים דועכים. כל תהליך מתואר בפונקציה משלו: f₁(t)=A₁·q₁^t ו־f₂(t)=A₂·q₂^t, שבהם A₁ ו־A₂ הן הכמויות ההתחלתיות ו־q₁ ו־q₂ הם מקדמי השינוי.

כדי להשוות בין שני תהליכים בזמן נתון, מחשבים את שתי הכמויות באותו t ובודקים איזו גדולה יותר. אפשר גם לחשב את היחס בין הכמויות: אם היחס גדול מ־1, הכמות הראשונה גדולה מהשנייה; אם הוא קטן מ־1, הכמות השנייה גדולה יותר.

כדי למצוא מתי שתי הכמויות שוות, פותרים את המשוואה A₁·q₁^t = A₂·q₂^t. לאחר חלוקה מתאימה מקבלים (q₁/q₂)^t = A₂/A₁, ופותרים את t בעזרת לוגריתמים או בעזרת זיהוי חזקות. אם לתהליך אחד יש גם כמות התחלתית גדולה יותר וגם מקדם גדילה גדול יותר, הוא יישאר גדול יותר לכל t חיובי. אם לתהליך אחד כמות התחלתית קטנה יותר אך מקדם גדילה גדול יותר, ייתכן שהתהליך השני יהיה גדול יותר בהתחלה ואחר כך הראשון יעקוף אותו.

לעיתים התהליכים אינם מתחילים באותו זמן. אם תהליך מתחיל לאחר השהיה של d יחידות זמן, אפשר לתאר אותו עבור t המתאים באמצעות החלפת t ב־t−d בפונקציה של התהליך. כמו כן, תהליך יכול להיות מורכב ממספר שלבים: בשלב ראשון הכמות מוכפלת ב־q₁ למשך זמן מסוים, ובשלב שני ב־q₂ למשך זמן אחר. במקרה כזה הכמות הסופית מתקבלת מהכפלת הגורמים, לפי סדר השלבים.

זמן מחצית חיים

זמן מחצית חיים הוא פרק הזמן שבו כמות של חומר דועך יורדת למחציתה. מושג זה משמש בעיקר לתיאור דעיכה של חומרים, אך אפשר להשתמש בו בכל תהליך שבו כמות קטנה באופן מעריכי וידוע הזמן שבו היא מגיעה למחצית מערכה.

אם זמן מחצית החיים הוא h, אז לאחר h יחידות זמן הכמות היא f(0)/2, לאחר 2h יחידות זמן היא f(0)/4, לאחר 3h יחידות זמן היא f(0)/8, וכן הלאה. באופן כללי, אם t נמדד באותן יחידות כמו h, אפשר לכתוב את תהליך הדעיכה כך: f(t)=f(0)·(1/2)^(t/h). בנוסחה זו, הביטוי t/h מציין כמה תקופות של מחצית חיים עברו.

אם משתמשים במקדם דעיכה q ליחידת זמן אחת, הקשר בין q לזמן מחצית החיים h הוא q^h = 1/2. כלומר, אם ידוע q אפשר למצוא את h על ידי פתרון המשוואה, ואם ידוע h אפשר למצוא את q ליחידת זמן אחת. כאשר נדרש למצוא מתי הכמות תגיע לחלק מסוים מהכמות ההתחלתית, מציבים את החלק המבוקש במקום f(t) ופותרים את המשוואה באמצעות לוגריתמים או זיהוי חזקות.